Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Следует, однако, помнить, что принятые выше приближения основаны на
разложении в степенные ряды по малому параметру а. Этот прием может быть
правомерным при рассмотрении фотона, отражающегося от искус-
§ 9. Падающее яблоко
121
ственного спутника, но наверняка окажется некорректным при рассмотрении
фотона, отражающегося от Луны.
На самом деле процесс приближения, основанный исключительно на малости о,
вообще не допустим, так как а - размерная величина (время или
расстояние). Малыми в абсолютном смысле этого слова можно назвать лишь
безразмерные инварианты. Действительно важным в приближениях оказывается
отношение отброшенных членов к оставшимся. Однако корректный метод
вычислений (с точной оценкой сделанных допущений) был бы несколько
утомительным; интересующийся читатель не встретил бы существенных
трудностей в том, чтобы придать приведенным выше выкладкам (как и другим
аналогичным выкладкам, связанным с методом приближений) необходимую
точность1).
§ 9. Падающее яблоко
Согласно знаменитой легенде, Ньютон был вдохновлен на создание своей
теории гравитации, наблюдая однажды за падением яблока с ветки дерева, и
изучающие ньютонову физику даже теперь стали бы утверждать, что ускорение
(980 см/сек2) падающего яблока обусловлено гравитационным полем. Согласно
теории относительности, эта точка зрения совершенно ошибочна. Мы
предпримем тща- Г
тельное изучение этой проблемы и убедимся, что в явлении свободного
падения гравитационное поле (т. е. тензор Римана) играет, в
действительности, чрезвычайно малую роль, а ускорение 980 см!сек2
обусловлено фактически кривизной мировой линии ветки дерева. В самом
деле, мы могли бы убедиться, что ускорение яблока равно 980 см/сек2 и в
том случае, когда оно сброшено с ракеты, движущейся с таким же ускорением
на большом расстоянии от источников поля гравитации. Однако было бы
непоследовательным продолжать дальнейшее рассмотрение в рамках ньютоновой
теории (или обращаясь к принципу эквивалентности Эйнштейна (Мёллер [767],
стр. 220)), так как эта задача относится к римановой геометрии и в
принципе очень проста, хотя и несколько громоздка в деталях. Лишь в целях
сравнения физического истолкования мы попытаемся связать окончательные
результаты с некоторыми ньютоновскими идеями.
Обратимся к фиг. 43. Здесь С - мировая линия наблюдателя (ветки дерева),
а Г'-мировая линия свободно падающего тела (яблоко); Г'- геодезическая,
тогда как С таковой не является. Линии С и Л' касаются друг друга в точке
О, т. е. в точке, где начинается падение. При этом касание соответствует
"мягкому" старту: начальная относительная скорость равна нулю. Чтобы
проследить за падением яблока физически, мы должны рассматривать сигналы,
приходящие из Г' к С. Однако мы здесь ограничимся главным образом
математическим рассмотрением2).
х) См. замечания о малости в гл. II, § 3.
2) По разным соображениям вычисления здесь доведены до высокого порядка
точности, в связи с чем они выглядят весьма сложными. Чтобы, минуя
громоздкие вычисления, получить хотя бы грубое представление о "проблеме
падающего яблока", можно ряд оборвать, пренебрегая членами третьего и
более высокого порядков малости; в этом случае в правой части (3.125)
останется лишь первый член, представляющий собой релятивистский аналог
выражения, фигурирующего в элементарном (нерелятивистском) уравнении для
рассматриваемой задачи.
Фиг. 43. Свободное падение.
122 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
Пусть Р'- некоторая точка на Г', а Р'Р (пространственноподобная)
геодезическая, ортогональная к С. Пусть а = РРг, а рг-единичный вектор,
касательный к РР' в точке Р. Мы будем изучать вектор ар,*, исследуя его
компоненту в направлении вектора К1, который некоторым образом
переносится вдоль С (закон переноса будет конкретизирован позднее).
Пусть s = ОР и s' = ОР' представляют собой времена, регистрируемые с
помощью часов, находящихся на ветке и на яблоке соответственно.
Вытекающая из построения зависимость между s и s' задается формулой
5 = 4^. (3.102)
as
Инвариант ар^4 есть функция s. Вводя в рассмотрение мировую функцию,
имеем
стр.^ = _ Q. (РР') V (Р). (3.103)
Разложим это выражение в ряд по степеням s. Чтобы избежать необходимости
писать всюду знаки минус, положим
Ф (s) = Qi(PP')li(P), (3.104)
и разложим ф (s) в ряд:
Ф (s) = [ф] + 4°ф] + у s2 [°2(Р1 s* [°3(Р] + ~Ш si [D4(p] + °5' 105)
где D = 6/6s, а [ ] означает, что соответствующая величина
берется
в точке О (т. е. [ ] означает предел совпадения, так как
Р' и Р при
s = 0 совпадают).
Пусть А1 ( = dxl/ds) - 4-скорость на кривой С в точке Р, а А1 - 4-
скорость на кривой Г' в точке Р'. Так как кривая Г' геодезическая, то
DA1'= 0. (3.106)
Заметим, что в силу ортогональности в точке Р
СУР = 0. (3.107)
Следующие формулы сходны с формулами (3.76), хотя и несколько более
сложны, поскольку положение точки Р' не фиксировано. Мы имеем
?ф = С\DXi + Q^A* + Qiyl1 AyS, (3.108)
