Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где коэффициенты имеют следующий вид:
1Е=-р;А*, W* = Ap,
Y = -1 DAp, Y* = - рДД1 -1 р^ЛМд',
1 1 -1 , • 1 • ¦ (3'83) Z = I 1 p,D2r -1 р^Л'Л,^ - i Дь^ЛМ pffl,
Z* = ?Л*А* + i р4Ш*р,ОА.' -1 D2Ap -1ОЛ4ОГ +1 SyhmAM'p V".
Восстановим теперь индексы Лоренца у АД означающие нумерацию векторов 4-
репера Ферми. Если взять АД) вместо АД то ф (QP') перейдет в Q(a) (QP').
Если же в качестве А1 взять Л1( = А(4)), то ф (QP') перейдет в Й(4)
(QP'). Это и есть те величины, которые нам нужны для вычисления
направляющих косинусов по формулам (3.74). Перейдем к их оценке.
В силу формул Френе -Серре (1.55)
DA{ = ЬВ1,
DB* = сС1 А- ЬА1, (3.84)
D2Al = b2A' + DbB' + ЬсС*.
Обозначая компоненты АД) для репера Ферми обычным образом, получаем ?>АД)
= Л*АД)М, = ЪАК АД)В,- = ЬА%а),
(о.о5)
D2 АД) = Л1 (DbB{a) + ЬсС{а)) + ВгЬ2В(а).
Тогда
Р4Л4 - 0, PjA(a) - 1А(а).
Р^Л -ЬВ^ара\ р4ОА(а) = 0, (3 86)
р402Л* = DbB(a) p(a) + ЬсС( a)P(a),
Pi^2A(a) = 62В(а)Вф)Р(Р>
§ 8. Перенос Ферми и отражающийся фотон
119
а также
Л^(а) = 0, DAilk\a) = bB(a),
DAfikU = 0, (3.87)
D^A^la) = DbB(a) + bcC(a),
SiihmK*)A-VVm = S(a4Pv)[A(P)[A(V).
si3.fem^HMVm = s(a44p)(i<p>.
Заметим, что [i(a) (= р(а)) представляют собой направляющие косинусы
линии NP' по отношению к ферми-реперу.
Восстанавливая в формуле (3.83) индекс Лоренца (а) и используя выше
результаты, находим
№(*)=-|i(a), По = 0,
У (а) = \bB( а), У(а) = О,
Z(a) = Ip S(a44P)^(P),
(3.89)
Z*a) = g (DbB^ -f bcC(a)) + S(a4pV)[i(P)[x(v\
Таким образом, из (3.82) следует
Ц"> (QP') = + Y(a)02 + (Z(e) + TjZfa)) a3 + Ov (3.90)
где коэффициенты определены соотношениями (3.89).
Введя теперь в формулу (3.83) А1 ( = ^)4)) вместо к%, получим Г(4) = 0,
Г(*4)=-1,
У(4> = 0, У*4) = - -к- ЬВ(а)[х(а),
, , (3-91)
Z(4) = - -3 ИчD2Al = -3 {DbB{a)\iW + bcC(a)\ila>),
Z(4) - -E + y b2 (B(a)[A("))2 - I 6* + I S(44PV)H(PV(V).
Последнее из выписанных соотношений можно записать более сжато, так как в
силу (3.60) и (3.81)
К = 4 Si3W4MVK = | S(44pv)[A(pW
1 1 з (3-92)
и, следовательно,
Z?4) = + (S(a)(x(">)2 = I Я-i ь*sin*(B(X), (3.93)
где (Вц) означает угол между первой нормалью Вх и вектором ц1. В таком
случае из (3.82) следует, что
?2(4) (QP') = - тщ + лУ(4)а2 + (Z(4) + riZfo) a3 + 04. (3.94)
Соответственно в силу (3.74), (3.90) и (3.94) направляющие косинусы для
излучения (т)= - 1) и приема (л=1) имеют значения
О _ " Й(а) _ ^,) + У(")° + (г(,) + ^?,))Р> + 0" (3 д5)
"<")-Л 0(4) - _1 + yj4)o+(Zf4) + 4Z(4))o"+0, • 1 -У0;
120 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
Применяя биномиальное разложение знаменателя, получаем
0(a) = Ф(а) + Т1Ф*а) + Os, (3.96)
где
Ф(а) = -' W(а) - (У(а) + W(а) У *4)) О -
- {У(а)У(4) + 2(а) + Wla) (Z\4) + У&)} а2, (3.97)
^) = -^№) + ад4)).
Следовательно, приращения направляющих косинусов равны
Л0(а) = 2ф*а) + 03. (3.98)
Это равенство указывает, как следует направить фотонную пушку
относительно системы координат Ферми, чтобы с ее помощью можно было
поймать возвращающийся фотон. Вращение оказывается функцией второго
порядка малости по а. Этот факт позволяет дать физическую интерпретацию
переноса Ферми. В самом деле, если мы используем систему координат,
вращающуюся относительно ферми-системы, то за время эксперимента (равное
приблизительно 20) вращающаяся система отсчета повернется относительно
ферми-системы на угол порядка а. Чтобы поймать возвращающийся фотон,
наблюдателю, использующему вращающуюся систему, нужно повернуть фотонную
пушку на угол порядка а. Таким образом, ферми-перенос характеризуется
тем, что для ферми-систем (и только для них) угол вращения фотонной пушки
равен нулю, если пренебречь величинами порядка о2. Другими словами: если
т - время "путешествия", а 0 - угол, на который следует повернуть
фотонную пушку, то предел 0/т при т--0 для ферми-систем, и только для
них, равен нулю.
Подставляя выражения для W(a), У (а), Z(a) и Z*a) из (3.89) и (3.91) в
(3.97), получаем
ф(а) = Ra) {l - \ bo cos (Bp) + Ко2 - ~ b2o2 ( 1 - 3cos2 (Bp.)^)} +
+ В(a) (J^ba - ~b2a2 cos {Bp)^ + ~ cr2S(a/j4p)p(P), (3.99)
Ф(а) = а2 - P(a)F(p)P(W -уВ{к4ру)р<Р)рЧ)^) ,
Fia) = l-(DbB(a)+bcCia)). (3.100)
Тем самым мы выразили эти 3-векторы через их компоненты вдоль р(н)
(ферми-направление шара), В(а) и С(а) (первая и вторая нормали к мировой
линии наблюдателя) и два других 3-вектора, включающих симметри-зованный
тензор Римана (2.48).
В качестве проверки этих довольно запутанных вычислений, легко убедиться,
что 0(a)0(a) = 1 -f 03 и что 0(а) и А0(а) в рассматриваемом приближении
ортогональны.
Поскольку в первом приближении мы имеем 0(а) = р(а) и т = 2о (где т -
время путешествия), можно (3.98) записать в виде
2т-2А9(а) = F{a) - 9(a)F( р)0(Р) -1 S(a4pY)0<"tKv). (3.101)
Все величины, входящие в это уравнение, доступны наблюдению. Исключение
составляют F- и S-члены. Таким образом, наблюдение отражающегося фотона с
помощью достаточно совершенного прибора может дать сведения как о
кривизне мировой линии наблюдателя, так и о тензоре Римана.
