Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
способом вектор В1 и кривизну Ь. С другой стороны, наблюдатель может
прибегнуть к динамическим экспериментам, наблюдая за падающим телом.
Разумеется, последний метод более эффективен, ибо (как было показано в §
9) он позволяет определить не только В1 и Ь, но также и две другие
нормали С\ D* и две другие кривизны с, d. Мы будем продолжать наше
рассмотрение, основываясь на динамическом методе, так как он более обилен
результатами, однако всегда можно вернуться к более ограниченным
статическим результатам, полагая в последующих формулах у =6 = 0.
В каждой точке на С0 существует ортогональная тройка нормалей (В\ С',
D1). Пусть р, у, б - некоторые постоянные, удовлетворяющие соотношению
Фиг. 46. Статическое измерение гравитационного поля.
Р2 + А* + 5s = 1,
(3.160)
S И. Статическое измерение гравитационных полей
131
a dv - бесконечно малая постоянная. Тогда в каждой точке на С0 можно
построить вектор
(РВ* + уС{ + 6D4) dv. (3.161)
Концы этих бесконечно малых векторов задают смежную мировую линию Clt
которая может быть использована для наблюдений вторым наблюдателем.
Повторив ту же самую операцию на Сг (при тех же
постоянных (1,
Y, б, dv), мы получим третью смежную линию. Повторяя процесс
бесконечно
долго, мы получим со1 мировых линий, которые образуют двумерное
пространство. Выберем на этом пространстве параметры и и v следующим'
образом. Пусть и - s на С0 и и = const на каждой из
кривых, касательных
к векторам (3.161) (см. фиг. 46). Пусть v = const на каждой
из мировых
линий С0, С-у, С2,... , а на линии С0 параметр v 0.
Полагая
ц1=,~, у* =, (3.162)
ди до 4 '
мы приходим к следующим формулам: б и1 _ б К*
6у б и '
У1 = + у С1 + б D*, Vy1 = 1, (3.163)
(У.у' = 0, А1 = -^~ , (Уа = -t/jt/1,
U> 0, (t/^o^l.
Здесь А1, В1, С1 и D1 представляют собой единичный касательный вектор и
единичные нормали к любой из кривых, для которых v = const.
Каждая из мировых линий v = const имеет первую кривизну b(u, v). Наша
задача состоит в том, чтобы вычислить (db/dv)v=o, т. е. наблюдаемый
релятивистский инвариант, соответствующий скорости изменения
ньютоновского поля гравитации с высотой, как это описывалось выше. В
любой точке двумерного пространства мировых линий мы имеем
ЬВ1-.
6Л* 1
б s U би
так как ds/du = U. Следовательно,
(-?). (3.164)
. ы 1 В1 дЦ
0 U2 б и U3 ди
I ! ^диу
(3.165)
б и би _г К^ди J
поскольку U (dU/du)= - (б?/'/6ы). После дифференцирования по v
получаем
= тт (3166)
до до би б о би ди до ди ' '
Затем в силу (3.163) и (1.95)
и(tm)-=-иЖ=-и.^
и до бо ui би '
б 3Ut ба1Л • (3,167)
wiu-^+ Riihmu>v^,
и, следовательно, полагая в (3.166) v = 0 и замечая, что в этом случае и
= s, 0=1, dU/du = 0, мы получаем
4'-ам'-ж-"тг (-??¦ + , (3.168)
132 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве времени
ИЛИ
2 ЬА1^-
ov 6s
В
•с
62V{
6s2
' Ri i
(3.169)
С учетом (3.163) и (1.55) мы имеем 6У{
6s 6*Vi
Р (cCt + + у (dDi - cB{) - bdCit
6s2 - p {c'C, + с (rfDt - cBJ + b'Ai + 62Bt} -f + Y {d'Dt- d2Q-с'В{-с
(cCt + Mt)} - 6 {d'Ct- d (dDi- cfit)}, (3.170)
где штрих означает d/ds. Следовательно,
yii pt
A -^-= -P6,
Я
6s2
p _ с2) - ye' + 6 erf.
(3.171)
Подставим эти величины в (3.169) и используем набор чисел (1, 2, 3, 4) в
качестве лоренц-индексов для компонент в ортонормированном 4-репере (В1,
С1, D1, А1). (Векторы репера нумеруются в указанном порядке.) ^результате
(для п = 0, т. е. на С0) получим
% = Р (Я<1414> - Ь* - с2) + Y (Я(1"4, - с'> + 6 ^<1434, + Cd). (3.172)
Если теперь поочередно полагать каждую из констант Р, у, 6 равной
единице, а две другие нулю, то получатся следующие формулы для скоростей
изменения b в направлении нормалей В1, С\ D1 (в заданном порядке):
С'~du\i)==Raili>~b2~'c2'
( щг)(2)= ^<1424> ~ с '
(*r)(3)==/?(1434> + cd'
(3.173)
Поскольку dv фактически представляет собой элемент длины, то, как мы
видим, эти формулы дают оценку изменения с расстоянием натяжения в
ватерпасе с единичной массой при смещениях в направлениях трех нормалей к
мировой линии наблюдателя. В земных условиях (см. фиг. 44) .¦Ви" этими
тремя направлениями оказываются соответственно: 1) вертикаль вверх (по
ватерпасу), 2) на запад, 3) на север. Перейдем к вычислению компонент
тензора Римана, фигурирующих в(3.173), в произвольной точке на
поверхности вращающегося тела с помощью сравнения с результатами
ньютоновской модели.
На фиг. 47 показан квадрант аксиального сечения тела, вращающегося с
угловой частотой со. Наблюдатель находится в точке О на (географической)
широте К. Единичные векторы, которые мы теперь обозначим через В, С, D,
направлены, как указано на фиг. 47. Возьмем их в качестве осей Oxyz.
Направление ON перпендикулярно к оси враще-
К р Drz) ^v-l К Л
J.. . \
J ?0 0 \
Ф и г. 47. Вращающееся тело
§ 11. Статическое измерение гравитационных полей
133
ния, направление этого вращения указано с помощью единичного вектора К.
Примем обозначение NO-q0.
Пусть g -вектор, изображающий натяжение в ватерпасе с единичной массой,
