Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
глаза, или части фотопластинки, или даже угла комнаты). Рассмотрим также
три временноподобных кривых С1; С2, С3, положениями которых можно
управлять. Фактически было бы достаточно двух, но ради симметрии (А^в^
A2ti2= лучше взять три. Эти кривые следует мыслить как миро-= ...). вые
линии частиц, относительное положение которых
можно регулировать с помощью винтов или других приспособлений. Четыре
мировые линии могли бы быть четырьмя соседними углами каменного бруска
(но в этом случае следует быть готовым суметь деформировать камни, что
потребуется для соблюдения условий, которые мы сейчас наложим).
Каждая из трех "регулируемых" мировых линий имеет три степени свободы.
Таким образом, всего в нашем распоряжении девять степеней свободы. Будем
так смещать эти мировые линии, чтобы для каждой пары
тическая (хронометрическая) проверка жесткости по Бопну
Фиг. 35. Жесткость по Борну (dr\/du = 0).
х) Речь идет о неинтегрируемости римановой связности.- Прим. ред.
108 Гл. 111. Хронометрия в р^мановом пространстве -
времени
выполнялось условие жесткости Борна. Поскольку всего можно образовать
шесть пар, то мы используем при этом шесть степеней свободы, оставив три
из них неиспользованными. Заметим, что управляемые операции относятся к
физическим (хронометрическим).
Не касаясь большего числа степеней свободы, будем выполнять регулирование
несколько более определенным образом, потребовав, чтобы три вектора
отклонения, проведенные из С0, были равными по абсолютной величине и
взаимно ортогональными. Тогда в трехмерном подпространстве, ортогональном
к С0, мы получим малый жесткий тетраэдр CoCjQCg, как это показано на фиг.
38, где изображены также единичные векторы р. <">, проведенные в
направлениях векторов отклонения тро). Этот ортонормированный репер р (а)
образует систему координат.
Фактически в качестве системы отнесения можно взять любую ортонормиро-
ванную триаду (3-репер), ортогональную к 4-скорости мировой линии С0
наблюдателя. Все, что мы делали выше, преследовало единственную цель -
придать математическим понятиям физический (хронометрический) смысл, так
чтобы любой астроном, строящий систему координат, знал, как к этому
подойти. Из всех систем отнесения математически самой простой оказывается
ферми-триада (3-репер) (см. гл. I, § 4 и гл. II, § 10), которая в
обозначениях (2.180) удовлетворяет уравнению
-^К\а) = ЬА'х1В;. (3.27)
Если р(а) - какая-нибудь другая орто-нормированная триада, ортогональная
С0, то существует ортогональная матрица Л4(ар)> элементы которой
представляют собой девять взаимнонаправляющих косинусов, такая, что
М-(СХ) = М(аР)^(Р)' Л4(ар)Л4(ау) = бру.
(3.28)
Матричные элементы М(ар) являются функциями s (время на С0) и, поскольку
произ- Фиг. 38. Система координат р'а), водная ортогональной матрицы есть
косо- видимая в трехмерном элементе, симметричная матрица, то можно
записать ортогональном к Са и 3-репер d Ферми Х\а).
¦^-Л4(ар) = со/ар) = - (0(р"), (3.29)
где три независимые компоненты (0(ар) фактически представляют собой
компоненты угловой скорости вращения р.(а) относительно V(a).
У нас есть еще три степени свободы для управления мировыми линиями Clt
С2, С3, определяющими pi(a), и мы можем использовать их для того, чтобы
обратить (0(ар) в нуль. В этом случае система отнесения становится ферми-
системой. Как мы увидим позднее, эта система бывает очень полезна в
физических задачах.
А(з)
Фиг. 37. Система координат, определенная с помощью С0, Сх, Са и С,.
§ 6. Измерение направления
109
Все, что было сделано выше, носит отчасти физический, а отчасти
математический характер. Ортонормальность р,'а) имеет физический
(хронометрический) смысл, тогда как закон Ферми (3.27) - просто
математический факт. Более полное физическое истолкование можно дать,
лишь рассмотрев с физической точки зрения смысл переноса Ферми (что
будет сделано позднее). Пока же будем пользоваться переносом Ферми
так, как
будто это физически вполне понятная вещь.
Как только мы обзавелись системой отнесения (Ферми или какой-нибудь
другой), нетрудно записать подходящее определение 3-импульса материальной
частицы (или фотона) относительно этой системы:
P(a) = PiV-\a). (3.30)
Обозначив 4-скорость С0 через р*4), мы можем объединить 3-импульс и
энергию [см. (3.23)] с помсщью формулы
Pw = PiVU> Е = - р<4, = р(4>, (3.31)
причем здесь подразумеваются правила, указанные в (1.54).
§ 6. Измерение направления
Взаимосвязанные понятия направления и угла играют в ньютоновской физике
настолько фундаментальную роль, что трудно себе представить необходимость
их переопределения в теории относительности. Задача состоит в определении
направления некоторого объекта с мировой линией С относительно
наблюдателя с мировой линией С0, причем мы должны помнить, что
наблюдатель С0 может получать информацию о С лишь с помощью каких-либо
сигналов, исходящих из С и достигающих С0. "Сигналами" мог-ли бы служить
свободные частицы или фотоны в вакууме, однако мы встанем на более общую
