Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
V =<о X i = <о X (j X k) = io3j - io2k (3.143)
и два других аналогичных равенства, где ш1( ю2, ю3 означают компо-
ненты вектора <о относительно 3-репера. Следовательно, если а^, со2, <в3
компоненты угловой скорости 3-репера, образованного нормалями,
относительно ферми-репера (и если эти компоненты взяты вдоль указанных
нормалей), то
5(a) = tt>3C(a) (r)2^(а)>
C(a) - 4>^D(a) 103В(а)> (3.144)
5(а) = ш1^(а )•
Сравнивая эти уравнения с (3.142), приходим к следующим простым
выражениям для со-р со2, <г>3:
о"! = d, щ - 0, <в3 = с. (3.145)
Таким образом, мы связали компоненты угловой скорости со второй и третьей
кривизнами временноподобной мировой линии, на которой заданы упомянутые
3-реперы. Эти компоненты угловой скорости изображены на фиг. 44.
Чтобы интерпретировать угловую скорость вращения системы координат
применителько к случаю земного наблюдателя, целесообразно рассматривать
3-репер Ферми как репер, который в обычном смысле не вращается. Тогда
угловую скорость, компоненты которой определены выражениями
(3.145), следует отождествить с угловой скоростью вращения Земли (на фиг.
44 она помечена символом со). Тогда, обозначив широту наблюдателя через
Я, получаем
с = со cos Я, d = со sin Я. (3.146)
Первое из этих равенств совпадает с равенством (3.137), полученным из
динамического рассмотрения. Второе равенство дает новый результат: оно
определяет третью кривизну мировой линии земного наблюдателя. Интересно,
что величины с и d имеют, вообще говоря, одинаковый порядок малости.
Однако на экваторе доминирует вклад с, а на полюсах - d.
Приведенное выше отождествление кривизны мировой линии земного
наблюдателя с доступными наблюдению величинами, конечно, несколько грубо,
так как мы не учитывали орбитального движения Земли. При более тщательном
рассмотрении этого вопроса необходимо твердо помнить, что
(3.145) представляет собой точный математический результат, не зависящий
от какой-либо физической интерпретации.
§ 10. Проблема баллистического самоубийства
Обычная баллистическая задача состоит в таком нацеливании орудия, чтобы
траектория снаряда пересекала траекторию какой-нибудь цели. Мы
рассматриваем проблему баллистического самоубийства: снаряд должен
поразить самого наводчика!
Какой бы аморальной ни выглядела такая идея с точки зрения социологии, в
общей теории относительности - это точно поставленная задача, так как
здесь мы имеем дело просто с двумя наблюдениями, оба из которых выполняет
один и тот же наблюдатель. Кроме того, этот пример убедит
128
Г л. III. Хронометрия в римановом пространстве - времени
нас в том, что, хотя траектория запущенного вертикально вверх снаряда и
выглядит резко обломанной (искривленной) в вершине, с пространственно-
•временнбй точки зрения она выглядит настолько прямой, насколько это
вообще возможно (геодезическая линия).
На фиг. 45 показана мировая линия С "наблюдателя - самоубийцы": Qx-точка
отправления снаряда, Q2-точка его возвращения, а геодезическая Г,
соединяющая Qx и Q2, представляет собой траекторию снаряда. Повторим
рассуждения, изложенные в гл. II, § 13, выбрав точку Q0 на одинаковом
расстоянии от Qx и Q2, так что можно записать
(s={<J)Q'¦
1
с,
S, = 0.
(3.147)
Наблюдатель (S = 0) Q0
(s=-{o)Q,
Фиг. 45. Баллистическое самоубийство.
В таком случае о представляет собой временной интервал между Ql и Q2
(время полета снаряда), измеренный по часам, связанным с наблюдателем.
Обозначим, согласно (2.258), через т другую меру времени полета, а именно
время, измеренное часами, связанными со снарядом. Тогда, как и в (2.259)
т = о + ~62о3 + 04, (3.148)
где b - первая кривизна линии С в точке Q0, а о - бесконечно малая
величина (Ох).
Заметим, что т > о, т. е. по сравнению с часами, связанными с
наблюдателем, часы, находящиеся на снаряде, идут быстрее1). Любопытно
выяснить, на какую высоту над поверхностью Земли должен подняться снаряд,
чтобы эта разница во времени оказалась в пределах наблюдаемости с помощью
современных методов хронометрии2).
Чтобы достичь
т - с> 10_10сек, (3.149)
необходимо получить величину о, минимум такую же большую, как дается
формулой
6203 = 24- 10"10 сек. (3.150)
Для земного наблюдателя b определяется формулой (3.133); в этом случае
о3 = 2,254-106 сек3, 0=131 сек, (3.151)
т. е. время полета равно приблизительно 2 мин. Это соответствует
траектории, высота которой равна около V8g02 = 21 км. Вряд ли нужно
доказывать, что, стремясь к принципиальной простоте, мы слишком сильно
отклонились от реальности, отбросив сопротивление воздуха; последнее
привело бы, однако, к весьма серьезным усложнениям.
Рассмотрим начальную и конечную скорости снаряда, измеренные в 3-репере
Ферми Х\а), связанном с мировой линией наблюдателя С. Если 4-скорость
снаряда равна V1 и ее компоненты относительно 3-репера Ферми - V(a), то
эта 4-скорость связана точными соотношениями с первыми производными
мировой функции Q (QjQ2) [см. (2.17)]:
Qtl =
%V
Ч'
^(ai) - TV,
