Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4). Возьмем на С ортонормированный 4-репер Я.'а), такой, чтобы был
касательным к С, а Ц4)- временноподобен. Пусть и Q2- две соседние точки
на кривой С. Попытаемся подобрать физический опыт, который позволил бы
выяснить, согласуются ли в действительности реперы Я,*а) в точках Qj и Q2
с условием переноса Ферми - Уолкера.
Чтобы реализовать такой опыт, представим себе некоторую точку Р', такую,
что если в этой точке происходит вспышка, то один фотон, излученный в
момент вспышки, проходит через точку Qlt а другой - через Q2. В
действительности оба ' наблюдателя, мировые линии которых (на фиг. 48 не
приведены) проходят через точки Qx и Q2 соответственно, увидят вспышку в
этих точках. Изотропная геодезическая P'Q1 определяет относительно 3-
репера Х(а) в точке Qx направление в этой точке с направляющими
Фиг. 48. Физический смысл переноса Ф - У вдоль пространственноподобной
кривой.
*) В этой книге временноподобные векторы на пространственно-временных
диаграммах, ориентированные в будущее, всюду направлены вверх, составляя
с вертикалью угол меньше 45°.
136 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
косинусами 0(tt)(Q1). Аналогично Р'02 имеет направляющие косинусы 0(a)
(Qi) В точке Qs. ;
Ясно, что, хотя здесь и не рассматривается отражающий фотон, исследование
этих направляющих косинусов будет сильно напоминать аналогичную задачу в
§ 8. Проведем геодезическую P'N, ортогональную С, и положим а = P'N, s =
0 в точке N, s - s2 в точке Q1 и s = s2 в точке Q2 (в точности как это
делалось в § 8). Тогда в предположении, что сг - малая величина (OJ,
используя мировую функцию Q и повторяя выкладки, проделанные в § 8,
находим
s2 - Sj = 2сг + 02. (3.190)
Уолкера и Я*х)= А',
(3.191)
(Заметим, что в первом уравнении стоит знак " + ".) Если 4-репер не
подвергается переносу Ф - У, в правой части каждого из уравнений (3.191)
будут стоять члены порядка 02. Этот факт позволяет определить перенос
Фиг. 49. Птицы на фонарных столбах.
Ф - У опытным путем; критерий состоит в следующем: если сг - величина,
настолько малая, что членами порядка 02 можно пренебречь, то направляющий
косинус относительно касательной меняет знак, тогда как два других
остаются неизменными.
Поскольку с физической точки зрения перенос Ф - У оказывается наиболее
фундаментальной операцией (можно говорить, что он характеризует
отсутствие вращения), хотелось бы выработать в себе способность понимать
изложенный выше опыт интуитивно. Добиться этого отнюдь не легко, ибо
ньютоновские представления укоренились в нас настолько сильно, что даже к
понятию пространственноподобной кривой в пространстве - времени мы
привыкаем с трудом. При попытках интерпретировать трудные понятия лучше
всего помогают необычные примеры. Иллюстрация, приведенная ниже, может
оказаться полезной.
Представьте себе (фиг. 49) ряд равноудаленных друг от друга фонарных
столбов, занумерованных цифрами 1, 2, 3... На каждом сидит птица. Пусть
каждая из птиц способна зажигать лишь тот фонарь, на котором она сидит.
Пусть сначала зажигает свой фонарь птица I, а птица 2 зажигает свой в тот
момент, когда она видит вспышку фонаря Р, аналогично птица 3 зажигает
свой фонарь, когда видит вспышку фонаря 2 и т. д. Тогда вспышки
При условии, что 4-репер переносится в смысле Ферми - имеем .
0(D (Qi) + 0(i> (Q2) = Qa"
0(2) (Ql) 0(2) (Qi) = Оц 0(3) (Qi) 0(3> (Q2) = Qa*
§ 12. Перенос Ферми - Уолкера
137
фонарей образуют набор событий, которые можно рассматривать как кривую С
в пространстве - времени, причем кривую изотропную.
Допустим теперь, что птицы выполняют те же операции, но их реакция
несколько замедлена, так что фонарь каждый раз зажигается с некоторым
запозданием. В этом случае С становится временноподобной, и птица / могла
бы, улетев со своего фонаря, присутствовать при зажиганиях фонарей
другими птицами, т. е. С могла бы быть ее мировой линией.
Наконец, предположим, что птицы зажигают свои фонари безотносительно к
какой-либо связывающей их цепи причин. Каждый акт зажигания мог бы быть
обусловлен разными обстоятельствами. Птицы могли бы, например, делать
это, увидев, что вдали за плоскостью рисунка зашло Солнце. В этом случае
для любой из птиц могло бы оказаться невозможным, взлетев сразу же после
того, как зажжен ее фонарь, успеть прилететь к следующему фонарю до того,
как он будет зажжен. В этом случае С была бы пространственноподобной.
Именно этот случай нам и предстоит рассмотреть.
Итак, пространственноподобная кривая С построена. Следующий шаг состоит в
том, чтобы снабдить ее ортонормированным 4-репером Х'(а); вопроса о
переносе Ф - У мы пока не касаемся. Построение касательного вектора Я',,
оказывается нетрудным, так как он определяется актами зажигания двух
соседних фонарей. Что можно сказать относительно временноподобного
вектора Я|4), ортогонального С? Временноподобный вектор представляет
собой 4-скорость частицы, и лучшее, что можно придумать, это заставлять
