Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 73

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 211 >> Следующая

координатах Ферми. Вспоминая предельные выражения при совпадении линий
[т. е. {2.69)], находим
q154x)i"'=oa,
ih-Ka)Vr = [Qy.V?V] xUrf + 02 = - Ka)Viky\h + О,, (4.52)
Ds' = 1 + Oj,
где f]k - бесконечно малый вектор РР', а второй индекс при V означает
ковариантную производную. Отсюда с точностью до величин первого порядка
малости
ОХ(а) = У(ар)Х(Р), (4.53)
•где
У (аР) = УцЪ\а)Ъ\р) (4.54)
- компоненты ковариантной производной Vtj относительно 3-репера Ферми.
Рассматривая координаты Ферми Х(а) как декартовы, мы опознаем в
уравнениях (4.53) уравнения движения континуума, подвергающегося линейной
деформации. Соответственно этому мы будем говорить о симметричной матрице
распространения натяжений, определяемой как
0<а0) = -J (У<ар) + V(0а)), (4.55)
и об антисимметричной матрице спина (или вращений)
?й(ар)=у (V(a0) -V'(ap)). (4.56)
Однако предпочтительнее работать с тензорами, а не с
инвариантами,
поэтому мы перейдем к симметричному тензору ai;- и к
антисимметрия-
152
Гл. IV. Материальные среды
ному тензору со^-, которые относительно 3-репера Ферми имеют
соответственно компоненты (4.55) и (4.56). Но поскольку эти компоненты
полностью не определяют наших тензоров, мы вправе наложить дополнительные
условия, в качестве которых выберем, по-видимому, простейшие:
<Т(а4) = 0, со(а4) = 0. (4.57)
Этим равенствам соответствуют тензорные условия
oijVi = 0, coiJVJ = 0. (4.58)
Основываясь на определении (4.55), которое можно переписать как
= -J Vhm (^(а)^(р) + Я,(р)^)) , (4.59)
и используя условия (4.58), найдем тензор ai3-. Прежде всего умножим
(4.59) на и введем оператор проектирования, определяемый
как
pj = 4^"> = fij + v4v (4.60)
Для упрощения полученного выражения учтем (4.58) и вытекающие из (4.48)
равенства
= 0, (4.61)
Таким образом, получаем следующий тензор распространения натяжений:
о,,=1у,т(ргкРГ+р^г)=4 (vij+vji+vnykvi+vibvkvi)- (4-62>
Конечно, независимы не 10 компонент этого тензора, как казалось бы
сначала, а только 6 вследствие условий (4.58) или, лучше сказать,
вследствие того обстоятельства, что (4.55) и (4.57) определяют ai;-
однозначно с точностью до шести компонент.
Аналогичным образом мы получим, исходя из (4.56) и (4.58), следующее
выражение для тензора спина:
1 Упш(PiPT-Р)РГ) = 4 (yi3 - + vikvkvj - VjkVkVt). (4.63)
Независимы фактически лишь три компоненты этого тензора, так как в
представлении его относительно 4-репера Ферми мы имеем лишь независимые
компоненты со(23), со(31) и со(12).
Тензор спина тесно связан с вектором спина, который определяется
равенством
(ol = ^^kmVjVkm, (4.64)
где множитель rfjhm представляет собой тензор перестановок [см. (1.114)]"
Компоненты этого вектора относительно 4-репера Ферми суть
а<Г1) - ~2 ?eabcd^(b)^<cd)>
r = (-g)1/adeU{a) = ±l. (4.65)
При 1/(р) = 0 и V(4)= - 1 получим
G)(a) = ~ ^ , (0 0, (4.66)
так что
a<1) = ?a"3" <>>(2) = ?co(3l" "(3> = ?(r)i2>- (4.67)
§ 4. Тензор энергии континуума
153
Ясно, что тензор спина и вектор спина представляют собой различные виды
одной и той же величины.
Обозначим через v 3-объем поперечного сечения тонкой трубки линий тока.
Можно показать, что расширение этой трубки равно
= = (4.68)
так что условие движения без расширения (несжимаемость) записывается в
виде
glioij = 0 или У% = 0. (4.69)
Движение называют жестким (в смысле Борна, ср. гл. III, § 5), если для
всех линий тока, смежных с линией С, вектор РР' (фиг. 53) сохраняет свою
величину, или, что то же, Х(а)Х(а) = const. Из равенства (4.53) видно,
что необходимое и достаточное условие жесткого движения задается
равенством
<7(а0) = О, или CTij = °- (4.70)
Заметим, что оба приведенных равенства эквивалентны (Розен [999],
Зальцман и Тауб [1041])х).
Движение можно назвать невращательным, если
со(аР) = 0, или со{;- = 0, (4.71)
причем оба условия опять-таки эквивалентны. С точки зрения (4.67) эти
условия равносильны равенству со1 = 0. Однако выписывая их в этой
последней форме, можно заменить тензор перестановок в (4.64) на численный
символ перестановок [символ Леви-Чивита.-Ред.], а также ковариантную
производную на частную. Тогда мы приходим к известному условию
интегрируемости уравнения в полных производных
Vidx^O. (4.72)
Отсюда видно, что в случае невращательного движения линии тока образуют
нормальную конгруэнцию\ иными словами, существует семейство трехмерных
поверхностей, по отношению к которым линии тока ортогональны, В теории
относительности было столько неясного в понимании вращения, что стоит
заметить, насколько этот вопрос в действительности прост: при
невращательном движении элемент среды не поворачивается относительно
осей, переносимых по Ферми вдоль мировой линии этой непрерывной среды,
§ 4. Тензор энергии континуума
Следуя идеям статистической модели (см. § 1 и 2), мы наделяем
материальную среду симметричным тензором энергии(r), который можно
представить в ковариантной (Tij), контравариантной (Т11) или смешанной
(Г)) форме. Ввиду симметрии различение 7Д ц Г/ становится излишним, и мы
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed