Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
записываем оба их в виде Т).
Тензор энергии играет две важные роли. Во-первых, он характеризует
механические свойства вещества, такие, как натяжения и плотность. Во-
вторых, он оказывается основной величиной при определении гравитацион-
х) См. также работы Рейнера по жестким движен иям [963-967]. Задача о
жестком, движении в общей теории относительности более сложна, чем это
указывал Синг ([1175], стр. 36), ввиду параболического характера системы
уравнений.
2) Как в периодической печати, так и в ряде монографий для Т^ более
употребительным является термин "тензор энергии - импульса".- Прим. ред.
154
Гл. IV. Материальные среды
ных полей в значительной мере аналогично тому, как плотность масс
определяет свойства ньютоновского тяготения. Тот факт, что тензор энергии
играет подобную двойную роль, определяя инертные и гравитационные
свойства, характеризуется иногда как эквивалентность инертной и
гравитационной масс. Уравнениями гравитационного поля мы займемся в
следующем параграфе, а пока перейдем к инертным свойствам тензора
энергии.
Мы заимствуем из статистической модели интерпретацию тензора энергии с
помощью потоков и выдвигаем следующее требование, аналогичное (4.26):
Поток 4-импульса сквозь трехмерную мишень dS
(имеющую единичный вектор нормали nx) = e,(n)TlinjdS. (4.73)
Относительно смысла компонент ортонормированного 4-репера можно
обратиться к (4.28); что же касается точного физического смысла
употребленных в (4.28) слов, то ответ на этот вопрос в немалой степени
зависит от личного ¦опыта читателя и от его воображения.
Из статистической модели мы возьмем и уравнения сохранения
Т\) = 0. (4.74)
Важно заметить, что если метрический тензор gi3- задан, то уравнения
(4.74) представляют собой систему четырех уравнений в частных
производных, удовлетворяемую десятью компонентами Txj, однако если тензор
gy не известен, то эти уравнения касаются как Т1), так и g^, так как в
них фигурируют первые производные последнего.
Как было указано в конце § 2, определению в качестве 4-скорости
континуума Vх мы выбрали (по определению) временноподобный собственный
вектор тензора 7У, так что
(4.75)
где скаляр р. носит название собственной плотности энергии или массы1),
•однако ради кратности мы опустим слово собственная, хотя существует риск
перепутать его с плотностью (4.28), которая переходит в
собственную плотность, только если взять в качестве Vх
базисный вектор
-Я(4). Мы имеем
ед = 0 (4.76)
я
р = (4.77)
Знак "минус" появляется в (4.75) по той причине, что в статистической
модели 4-импульсы материальных частиц и фотонов направлены в будущее.
Определенный соотношением
(4.78)
•симметричный тензор Si3 называют тензором натяжений [в "согласии с
(4.28). Из уравнения (4,75) следует, что
Si3.V' = 0, (4.79)
поэтому тензор Sij имеет лишь 6 независимых компонент.
Соотношение (4.78) представляет собой общее выражение тензора энергии
через плотность, 4-вектор скорости и через натяжения. В наиболее простом
случае континуума, а именно для некогерентной жидкости
') При используемом нами в этой книге хронометрическом подходе скорость
света -автоматически оказывается равной единице. Тогда масса и
собственная энергия совпадают и знаменитое уравнение Эйнштейна Е = тс2
принимает простой вид Е - т.
§ 4. Тензор энергии континуума
155
или облака пыли, определяемых условием Sij = 0, имеем
Гу = рУ,У;, (4.80)
С целью выяснения свойств линий тока некогерентной жидкости подставим
выражение (4.80) в (4.74):
(цПЛ'Ч-nVf,V' = 0. (4.81)
Умножение на с учетом уравнений (4.76) дает
(|iV'),,- = 0 (4.82)
и на основании (4.81)
DV't = V\jVi = 0, (4.83)
где D = 6/6s - оператор [абсолютного дифференцирования вдоль линии тока.
Поэтому в некогерентной жидкости линии тока есть геодезические-шток
довольно любопытный.
Следующая по степени простоты, идеальная жидкость, определяется тем
условием, что тензор Ti} должен иметь три равных собственных значения,
отвечающих пространственноподобным собственным векторам. Обозначая это
общее собственное значение через р {давление), получаем
Тц = ^ViVj ф- р (VjVj + gij) = (p + p) VM + pgi;. (4.84)
Для выяснения особенностей движения идеальной жидкости подставим
выражение (4.84) в уравнения (4.74):
[(I* + Р) V*]\ j ^ + (Ц + Р) Vi | jV' + Pi i = 0. (4.85)
Умножая на Vх и учитывая (4.76), мы придем к уравнению, которое можно
записать в следующих двух видах:
№ + Р)4"'Ь = Р|гУ', (4.86)
pVfi (ixVO(4.87)
Подстановка (4.86) в (4.85) дает
(р + р) DV1 =-ри (V^ + g^). (4.88)
Это соотношение связывает абсолютное ускорение линии тока с градиентом
давления. Вводя ортонормированный 4-репер К\а), для которого 1(4) = V\ и
очевидным образом обозначая инвариантные компоненты векторов рц и DV1
относительно этого репера, получаем
[(V + P)Vi]u = p{i), (4.89)
(р + р) (DV){а) - = р(а). (4.90)
Заметим, что последнее уравнение представляет собой видоизменение закона
Ньютона в гидродинамике: Плотность X Ускорение = -Градиент давления. В
