Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 75

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 211 >> Следующая

практических случаях отношение р/р весьма мало [см. (4.98)1.
Частным случаем идеальной жидкости является газ, состоящий из
тождественных молекул массы т и пребывающий в статистическом
адиабатическом равновесии. В этом случае кинематическая и динамическая
скорости (см. § 2) совпадают, и тензор энергии равен (Синг
[1179], стр. 36)
Tiy = mNG {ml) ViVj + , (4.91)
где I - относительная температура G = К3/К2 (отношение функций
Бес-
селя), а N - модуль числового вектора, так что
= (4.92)
156
Гл. IV. Материальные среды
Располагая не только уравнениями сохранения (4.74), но и условием
сохранения числа частиц, можно по аналогии с (4.42) записать
jVfi=0. (4.93)
Из сравнения выражений (4.80) и (4.84) видно, что идеальная жидкость
вырождается в некогерентную при стремлении р к нулю, откуда следует, что
может оказаться допустимым трактование идеальной жидкости при низких
давлениях как жидкости некогерентной. Но что значит "низкие давления"? В
обычных единицах плотность энергии и давление имеют одинаковые
размерности [A'lL~1T"a]; при хронометрическом определении расстояний
следует приравнять размерности длины и времени [L] = [Т], так что
М = [р] = [МТ-я]. (4.94)
В следующем параграфе мы увидим, что, как следует из анализа уравнений
поля, справедливо равенство [М] = [Т], и поэтому (т и р выражаются в
сек"2. Ввиду их размерного характера нельзя говорить, что они велики или
малы. Однако можно, не впадая в абсурд, говорить о величине
безразмерного отношения р/\х, и было бы интересно исследовать
эту величину
в применении к Земле, рассматривая ее как идеальную жидкость, имеющую
постоянное значение (т и-не вращающуюся.
Первая кривизна мировой линии любой частицы, закрепленной в массе Земли,
представляет собой местное "ускорение, обусловленное гравитацией" g [ср.
(3.133)], так что уравнение (4.90) принимает вид
1 dp ~ -g, (4.95)
где значение g берется на расстоянии г от центра Земли. Принимая,
согласно теории Ньютона,
ё = Pi = о (4-96)
(индекс 1 относится к поверхности Земли), получаем
ln(l+-^-)=i-g1r1> (4.97)
где Pq - давление в центре Земли. Величина g1r1 в хронометрическом смысле
безразмерна; тогда
gx - 3,263-10~8 сек"\
гх = 2,125 • 10~2 сек, (4.98)
-^ = igiH = 3,464.10'1o.
Последнее отношение так фантастически мало, что первым побуждением было
бы отбросить р в выражении (4.84) для случая любой реально используемой
жидкости и рассматривать ее как некогерентную. Однако это привело бы к
катастрофе. При полном отсутствии давления корабль, оказавшийся в океане,
стал бы следовать своей геодезической, т. е. пошел бы ко дну, асам океан,
безусловно, претерпел бы коллапс [см. (4.83)]. Причина этого состоит в
следующем. Если q - весьма малая безразмерная величина, то ею можно,
конечно, пренебречь в выражении вида (1 + q). Однако градиент
q не будет безразмерным, и пренебречь им можно было бы лишь по
сравне-
нию с величинами, имеющими ту же размерность. Было бы смешно прене-
§ 5¦ Уравнения поля и сравнение с теорией Ньютона
157
бречь левой стороной уравнения (4.95) по сравнению с его правой
стороной1).
Обратимся теперь к общему тензору энергии (4.78) и подставим его
выражение в уравнения сохранения (4.74); мы получим
так что, переходя к тензору распространения натяжений из §.3 можно
записать
Первое из этих уравнений определяет абсолютное ускорение (т. е. первую
кривизну) линии тока, а второе задает изменение плотности вдоль этой
линии. Можно говорить, что это-уравнения движения произвольной сплошной
среды, хотя число неизвестных здесь, конечно, превышает число уравнений.
Мы привели уравнения движения к этому последнему виду с тем, чтобы ввести
в рассмотрение тензор распространения натяжений оi3-. Поскольку все
реальные вещества неидеально упруги или обладают вязкостью, то любое тело
конечных размеров при отличном от нуля тензоре oi3- будет источником
теплоты и будет излучать ее со своей поверхности. Отсюда следует, что
планеты стремятся прийти в такие состояния, в которых тензор aij
обращается в нуль (что соответствует жесткому движению). В таких
состояниях
До сих пор предполагалось, что рассматриваемое пространство является
римановым четырехмерным пространством и его кривизна была в общем случае
связана с гравитационным полем. Однако не было получено никаких
(4.99)
(4.100)
и поэтому уравнение (4.99) приводит к
(4.101)
Уравнение (4.100) можно переписать также в виде
Dp^-pVij-V^.
(4.102)
Из условий (4.79) получим
s^v^o, sihhvJ- + sihvi|h = 0,
(4.103)
(4.104)
Теперь уравнениям (4.101) и (4.102) можно придать вид
Dp= -\iOh + Slhajh.
(4.105)
(4.106)
(4.107)
§ 5. Уравнения поля и сравнение с теорией Ньютона
*) Ср. замечания о порядке малости в гл. II, § 3.
158
Гл. IV. Материальные среды
уравнений, устанавливающих зависимость кривизны пространства - времени от
распределения материи. Этот пробел восполняется теперь эйнштейновскими
уравнениями поля, которые мы запишем в виде
GVJ - Agy = - xly. (4.108)
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed