Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
линии тока. В § 4 мы уже видели, что линии тока некогерентной жидкости
представляют собой геодезические, поэтому
vi|fcvft = 0, VilkjVh + V i\hV\j = 0. (4.121).
160
Гл. IV. Материальные среды
Тогда, следуя вдоль линии тока и используя уравнение (1.94), получаем (Vi
| i) = Vi, jkVh = Vi, kjVh + RmijkVmVh (4.122)
или
-A.(Vi| .) = -Vi]hVfj + RnmVmVk. (4.123)
Несмотря на трехмерный характер уравнения (4.119) и четырехмерный-
уравнения (4.123), мы обнаруживаем ярко выраженное формальное сходство
этих уравнений, причем слагаемое, содержащее в (4.119) ньютоновский
потенциал, соответствует в (4.123) члену, включающему кривизну. Можно
привести эти уравнения к еще более сходному виду, используя тензор
распространения натяжений и тензор спина жидкости и помня, что
приведенные в § 3 определения этих величин в принципе аналогичны их
определениям в ньютоновской гидродинамике. Тогда для ньютоновского
тензора распространения натяжений и спина (или вращения) получим
Оар = у(ыа, р + ыр, а)> ""3 = \ (U". 3 ~ И3- а) > (4.124)
а уравнение (4.119) даст
d , , , , , ,
^ ^ар -• <Jay(7yp (r)ay(Oyp + ф, a3>
d................................................. (4-125)
~~jj~ (r)ap - (JaY(r)Y3 + cr3YttV-
Так как в релятивистской жидкости абсолютное ускорение равно нулю, то из
(4.62) и (4.63) следует
^--^-(Viii + Viii), со,, = 1(Уг1;--Ул1) (4.126)
(мы восстановили символ ковариантного дифференцирования), а из (4.123)
получим
¦А- а.. = _ a.hak. _ a.k(?lk. + RmijhVmVh,
б h h
-gj COi;- = - Oih(j).j + CT;ft(0.i.
Вводя 4-репер отсчета ^(a) при параллельном переносе тока и с X\ii) = V1,
приведем эти уравнения к виду
¦^¦°(ap) = - CT(aY)a(YP) - (r)(ат)Ю(тЗ) + ^(4"34),
-^Г (r)(аЗ) = - СГ(о,у)СО(ур) + ^(Ру)^О(уа) •
Ввиду тривиальной связи между t и s при данном подходе нам приходится
признать связь между ньютоновскими уравнениями (4.125) и уравнениями
теории относительности (4.128) весьма тесной; чтобы совпадение стало
полным, достаточно связать между собой ньютоновский потенциал и тензор
Римана уравнением
ф, ар = 7?(4оф4). (4.129)
Таким образом, если полагать, что теория Ньютона может послужить
практическим ключом к истолкованию теории относительности, мы будем
вправе выразить некоторые компоненты тензора Римана через производные
ньютоновского потенциала. В действительности мы так и поступили в
(3.182).
(4.127) вдоль линий
(4.128)
§ 6. Обсуждение уравнений поля и координатных условий
161
Однако к этому есть что добавить. Из приведенных вычислений видно, что ни
уравнение Пуассона (4.116), ни уравнения Эйнштейна (4.120) не были
использованы. Мы основывались на соотношениях (4.121),, вытекающих из
закона сохранения Т]5j = 0, который в свою очередь является следствием
уравнений (4.120), но никоим образом им не эквивалентен. Полагая в
соотношении (4.129) р = а и учитывая уравнение (4.116), получаем
-4nyQ = R{ii) = R,jViVl. (4.130)
В свою очередь из уравнений (4.120) следует, что
С = ?^ = хр, (4.131)
и тогда
Яу = Gi; - у Sifi = - *V>ViVj - Y gi^H,
, j (4.132)
RijV V1 = - xh + ykIx= ~YX,1= ~~ 4JllA-
Следовательно, из уравнения (4.130) вытекает следующее соотношение между
плотностями в обеих сравниваемых теориях:
р = ур. (4.133)
Теперь можно определить число секунд в грамме. Как известно,
гравитационная постоянная равна
у = 6,670-10-8 г'1-см3-сек~2. [(4.134)
Так как, согласно формуле (3.134), 1 см = 3,336-10~и сек, то
у = 2,476-10"39 г'1 -сек. (4.135)
Вспомним, что все длины измеряются в секундах; тогда плотность равна р,
сек 2 = Q г сек 3. Пусть 1 г = хсек. Тогда р = хр, и из соотношения
(4.133) х = у, причем численная величина этой постоянной дана в формуле
(4.135). Поэтому
1 г = 2,476-10~39 сек,
1 сек = 4,039-1038 г. (4.136)
Приведем следующие значения масс:
Масса электрона= 2,255-10-88 сек,
Масса Луны= 1,813-10-13 сек,
Масса Земли = 1,479- 10-il сек, (4.137)
Масса Солнца = 4,920-10'8 сек.
Масса средней галактики х) = 1044 г = 2-10(r) сек.
Если масса и расстояния выражаются в секундах, сила оказывается
безразмерной величиной. Ньютоновское притяжение двух масс т и т!,
удаленных друг от друга на расстояние г, равно тт'/г2; таким образом, по
сути дела, мы положили гравитационную постоянную равной единице.
§ 6. Обсуждение уравнений поля и координатных условий]
В предыдущем параграфе было приведено достаточно аргументов,
показывающих, что уравнения поля общей теории относительности и уравнения
9 См. книгу Бонди (67], стр. 38.
162
Гл. IV. Материальные среды
гидродинамики и тяготения Ньютона при всем своем внешнем несходстве имеют
весьма близкое содержание, по крайней мере в случае жидкости без
давления. Ввиду того обстоятельства, что основные положения теории
Ньютона весьма неудовлетворительны, принятие ньютонианских концепций в
качестве основ общей теории относительности лишь профанировало бы
последнюю; поэтому приведенное сравнение обеих теорий преследовало
единственную цель - удостовериться, могут ли следовать из уравнений
