Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
точки U' и выберем затем в W векторное поле у[, удовлетворяющее
соотношениям
со(х', г/) = 0, yvbxv = W (1.179)
для каждого смещения бх1' в W. Подпространство W и функцию U' можно
выбрать так, что выполнение условий (1.179) окажется невозможным. Однако
мы будем предполагать, что эти условия выполняются. Следующий шаг состоит
в том, чтобы провести из точек W экстремали с начальными значениями (х1',
ур) (фиг. 7). Затем для любой точки В (х) в области, покрытой этими
экстремалями, определим функцию
в
U(x)=^yidxi + V'(A), (1.180)
А
где А - точка, в которой экстремаль, проходящая через В, выходит за
пределы W; интегрирование проводится вдоль экстремали. Варьируя В,
получаем в силу (1.179)
bU (х) = ^Ьх1 - г/i' бх*' + б(У' = г/i бхг. (1.181)
Это - полный дифференциал в области, покрытой экстремалями, так что
циркуляция к обращается в нуль. Следовательно, экстремали образуют
связную систему лучей, которым соответствуют волны, определяемые
уравнениями U (х) = const. Функция U (х) фактически оказывается
одноточечной главной функцией, так же, как и в (1.178).
Итак, мы рассмотрели в основном общую гамильтонову теорию. Вернемся
теперь к риманову пространству - времени с метрическим тензором gtj. Как
мы видели, гамильтонова теория основывается па выборе поверх! ости 2,
определяемой уравнением со (х, у) = 0. Л'ы можем сесстн вместе две
различные идеи; тогда получатся два важных набора кривых в про-
Ф и г. 7. Построение лучей и волн, берущих начало на гиперповерхности U7.
§ 7. Гамильтонова теория лучей и волн
35
странстве - времени (гамильтоновы экстремали и геодезические), видимая
связь между которыми отсутствует1).
С другой стороны, можно развить теорию лучей и волн в римановом
пространстве - времени, исходя лишь из метрического тензора g4 •. Это
можно осуществить, выбирая уравнение для гамильтоновой поверхности 2 в
виде
со (*, у) = шх (*, у) ю2 (*, у) (c)3 (х, у) = 0, (1.182)
где
(c)i(*. У)=81*У1У}'
(02(Х, у):
¦¦ gliyiyi -
1, (c),(*, y)=giiyiyj-1. (1.183)
В этом случае трехмерное пространство У3 для фиксированных значений xi
(так что?1' постоянны) представляет собой алгебраическую относительно у1
поверхность шестого порядка. Она распадается на области, как показано на
фиг. 8. Эти области следующие: конус со1 = 0 (двух-полостный),
двухполостный гиперболоид (c)2 = 0 и однополостный гиперболоид со3 = 0.
Вектор у1 должен иметь экстремум в одной из этих областей.
В силу (1.166) для экстремалей получаются следующие уравнения:
Иyi * •
2 \g''yjf
(1.184)
du
Фиг. 8. Гамильтонова поверхность У3 в ^-пространстве для лучей и волн в
римановом пространстве - времени.
где X - некоторый скаляр. Произведя замену параметра и, эти уравнения
можно привести к виду
dx1 du
dyi
du
Исключая yi( после простых вычислений получаем
б dx1 р.
6 и du
Далее первое из уравнений (1.185) дает
dxi dx' ъг' du du
0
-1
1
для
для
для
(r)i = о, (c)2 = 0, ю3 = 0.
(1.185)
(1.186)
(1.187)
Таким образом, параметр и в (1.185) и (1.186) таков, что в двух последних
случаях du = ds.
Из (1.186) сразу видно, что гамильтоновы экстремали являются
геодезическими. Экстремали, соответствующие (c)j = 0, представляют собой
изотропные геодезические, экстремали, соответствующие ю2 = 0, -
временноподобные геодезические, а соответствующие ю3 = 0, -
пространственноподобные геодезические.
') В случае геометрической оптики в сплошной среде (см. гл. XI, § 2) эта
связь установлена. Здесь гамильтоновы экстремали играют роль оптических
лучей, а геодезические играют второстепенную роль.
3*
36_______Г л. I. Тензорные формулы для риманова
пространства - времени
Так же, как для гамильтоновой главной функции, из (1.185) и (1.187)
получаем
в в в
S (А, В) = ^ ^ dx* = ^ g^ydjj du^e^ds (1.188)
А А А
ИЛИ
S{A,B) = О
в зависимости от того, будет ли экстремаль временноподобной геодезической
(е = - 1), пространственноподобной (е=1) или изотропной.
В случае связной системы лучи ортогональны волнам1). Это легко показать.
Вследствие (1.175)
yfixl = 0 (1.189)
для каждого смещения бх* по волне. В силу (1.185)
у.=гитг- С-190)
Следовательно,
gifixi^- = 0. (1.191)
что и доказывает сделанное утверждение.
Системы изотропных лучей представляют особый интерес. Для изотропного
луча вследствие (1.190) мы имеем
dx^ dx1 dx^ л /11 лл\
^-лГ = *и-лГ-лГ = °. ( }
и, таким образом, в силу (1.189) изотропные лучи не только ортогональны
волнам, но и лежат на них.
Трехмерное подпространство f {x) - const пространства -времени называется
изотропной гиперповерхностью, если / удовлетворяет дифференциальному
уравнению в частных производных
= 0, (1.193)
которое утверждает, по существу, что эта гиперповерхность содержит свою
собственную нормаль2).
Пусть / удовлетворяет уравнению (1.193). Тогда уравнения
(1-194)
определяют совокупность изотропных кривых. Вдоль каждой из таких кривых
мы имеем
°- (1,195)
и, следовательно, те кривые (1.194), которые начинаются на поверхности f
