Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования, на каждой из рассмотренных выше изотропных геодезических
существует единственный канонический параметр и, для которого и - щ на Сх
и и = щ на С2. Определив таким способом параметр и в двумерном
пространстве, мы подбираем второй параметр v, постоянный вдоль каждой из
изотропных геодезических (на Сх можно было бы выбрать v = s). Таким
образом, мы пришли теперь к ситуации, рассмотренной выше, и можем
применить уравнение геодезического отклонения к системе изотропных
геодезических, представленных PiP2 и QXQ2. Бесконечно малые векторы PyQx
и P2Q2 представляют собой векторы бесконечно малого
Ф и г. 5. Отображение с помощью изотропных геодезических и отклонение
изотропных геодезических.
28 Гл. /. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
отклонения г)1 в точках Рг и Р2 соответственно. Как и в (1.133), мы имеем
L/jV* = Функция только и. (1.134)
Вернемся теперь к уравнению для отклонения (1.130) и исследуем его
решения. Все последующие рассуждения применимы в общем случае к семейству
геодезических, независимо от того, изотропны они или нет. Условие (1.134)
может иметь, но может и не иметь места.
В (1.130) мы имеем четыре обычных дифференциальных уравнения, которым
удовлетворяют четыре функции V1 (и) вдоль кривой Г. Пусть 1*а)-
ортонормированный репер (ОР, см. §3, гл. I) произвольным образом
выбранный в некоторой точке кривой Г и определенный вдоль Г параллельным
переносом, так что
^jr = o. (U35>
Умножая (1.130) на A.(0)i, получаем
DW(a) -у Rijhmkla)U'VhUm = 0, (1.136)
где D = d/du, а У(а) - инвариантные компоненты в ОР. Таким образом, как и
в (1.54), имеем
У(а) = п4.). Г = У(0)4о- (1.137)
Введем другие инвариантные компоненты:
^(a) = ^i^-(a)1 R(alcd) = ^ijhm^(a)^(b)^(c)^(d)- (1.138)
Заметим, что в силу (1.129) и (1.135) вдоль Г
17(a) = const. (1.139)
Теперь с помощью инвариантных компонент уравнение (1.136) можно записать
в виде
D*V(o) + K(ca)Vc) = 0, (1.140)
где
Kg = R(abcd)U(b)Uid) = r\(^R(ibcd)U{b)U{d). (1.141)
Таким образом, мы перешли от тензорного уравнения для отклонения (1.130)
к инвариантному уравнению для отклонения (1.140). Пользуясь матричными
обозначениями, удобно записать (1.140) в виде
D2V+KV = 0, (1.142)
где К -инвариантная 4 х 4-матрица (1.141), а V -матричный столбец У<0)
Последующие наши действия можно мотивировать тем, что наша цель будет
состоять в нахождении решения уравнения (1.142) в интервале Uj<u<u2 при
заданных значениях V на концах интервала. Однако решение существует не
всегда, и представляется наиболее корректным изучать любое существующее
решение, полагая
V("1) = V1, V (u2)= V2. (1.143)
Пусть G(u, и') - функция Грина, определенная следующими соотношениями:
\ kiu-ujiuz-u') при "<и'(
G(u, ") = { (1.144)
[ k(и - ц1)(ц2 - и) при ">и ,
где
k = (u2 - u1)~1. (1.145)
§ 6. Отклонение геодезических
29
Вводя обозначения D - d/du, D' - d/du', имеем
DG = k(u2 - u'), D'G=-k(u - u1) для u<u\
DG = - k(u' - ux), D'G - k{u2 - u) для u>u'. 0-146)
Умножим теперь (1.142) на G {и, u')du, где и' меняется произвольным
образом в интервале ы1<ы'<ы2, и проинтегрируем по этому интервалу.
Интегрируя по частям и замечая, что на концах интервала G(u, и') = О,
получаем
U2
^ DGDVdu = J GKVdu. (1.147)
"1 "1
Но вследствие (1.146) величина DG постоянна в обеих частях интервала, на
которые последний делится точкой и; поэтому, если мы разобьем область
интегрирования на две части, DG вьщдет из-под знака интеграла. Итак,
имеем
"2
k(ui-u')(V'-Vl)-k(u'-ul)(Vi-V')= \ GKVdu, (1.148)
Ul
где V' = V ("'). Следовательно,
"2
V' = k (u2 - и') Vx + k (и' - иг) V2+ ^ GKVdu. (1.149)
"1
Это и есть интегральное уравнение для V, включающее граничные условия.
Если эти граничные условия совместны с требованием единственности
решения, то его можно получить с помощью итераций. Так
V' = k (ы2 - и') Vx -f k {и' - Uj) V2 + u2
-t- k \ GK [(u2 - u) Vx + (u - иг) V2] du-}-02, (1.150)
"i
где 02 заменяет члены, включающие вторую и более высокие степени К.
Поскольку в приложениях общей теории относительности кривизна
пространства (и, следовательно, К) обычно бывает малой, то часто бывает
достаточно оставить в (1.150) только члены, выписанные в явной форме.
Относительно совместных с решением значений V на концах заметим
следующее. Если выполняются условия (1.133), как это имеет место в случае
изотропных геодезических, то эти значения на концах должны удовлетворять
соотношениям
^a,(^<a>)u="1 = f/(a>(^(a>)u=u2. (1.151)
Напомним, что вдоль Г величина - const.
Чтобы исследовать первую производную решения, продифференцируем (1.149)
по и'. Для выполнения этой операции разобьем область интегрирования в
точке и' и продифференцируем по и' как по пределу интегрирования и как по
параметру в G. Однако поскольку G(u, и') в точке и = и' непрерывна, то в
результате дифференцирования по пределам мы получим нуль и, используя
значения D'G из (1.146), найдем
U' U2
D,V = k(V2-V1)-k^ (u-Uj) KVdu+k J (u2-u)KVdu. (1.152)
