Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Этот обобщенный символ Кронекера является тензором и подчиняется
следующим правилам: 1) если (jab) все различны и (kcd) получаются из
(jab) некоторой перестановкой, то он равен ± 1 в зависимости от
того, четной или нечетной является подстановка ^ ; 2) в остальных случаях
он равен нулю. Действительно,
с jab_____
¦>hcd -
% 6'с as
5 a (r) a
k Oc Od
6 b fib fib
k Oc Od
(1.123)
') "Тензор перестановок" по терминологии автора; употребительны также
названия ".абсолютно антисимметричный тензор" и "тензор Леви-Чивита". -
Прим. ред.
2) Обозначения, используемые здесь для этих ориентированных тензоров,
отличаются от обозначений Синга и Шилда ([1190], стр-249). В (1.114)
второй г]-сим-вол получен из первого с помощью опускания верхних индексов
по обычным правилам.
3) Для обозначения дуального тензора часто используется одна звездочка,
для
обозначения же дважды дуального тензора - двойная; см. гл. X, § 3.
26 Г л. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
Подставляя это выражение в (1.121), после простых сокращений получаем
(Ланчос [603])
R\\i = G{. (1.124)
Относительно симметризованного тензора Римана см. гл. II, § 2.
§ 6. Отклонение геодезических
Рассмотрим со1 кривых Г (и), заданных уравнениями xl - xl(u, v),
где v = const вдоль каждой кривой (фиг. 4). Они образуют
двумерное
пространство. Положим
44=^; <1Л25)
тогда в силу (1.26)
44=44- о-126)
При рассмотрении пары соседних кривых Г (и) и Г (р + 6и) интуитивно можно
предвидеть, что иногда полезно оперировать с бесконечно малым вектором
отклонения ц*
т]4 = У{6у. (1.127)
Однако поскольку 6v представляет собой просто бесконечно малую константу,
т]' и V1 по существу эквивалентны друг другу, и, работая
с конечным вектором Р1, удается избежать психологических затруднений,
часто возникающих при переходе к бесконечно малым.
Чтобы выяснить, каким образом Г (о + 6о) отклоняется от Г (и), запишем,
учитывая (1.126) и (1.95), следующие уравнения:
6гР _ 6 6Ki б 6U1 б 6и1
Ьи2 6 и би би 6ч 6ч 6 и '
rto+Sv) +Ri и^ьуШ' (1 128)
, • jhm
Фги/'j4к"ивой гРы0Й Д° сих П0Р относительно кривых Г (и) 1 от КРИВ0И tv)-
не делалось никаких специальных предположений. Теперь потребуем, чтобы
они были геодезическими [может случиться, что некоторые из Г (и) или даже
все окажутся изотропными геодезическими], причем параметр и на каждой из
них выберем каноническим, так что в силу (1.31)
-^ = 0. (1.129)
Первый член в правой части (1.128) обращается в нуль, и мы имеем
уравнение геодезического отклонения
-^+Rl.jkmUlVkUm = 0, (1.130)
или эквивалентно
^ + Rl.ikmU^bUn = 0. (1.131)
Поскольку и - канонический параметр на каждой из кривых, соответствие
между точками на Г (о) и Г(о4-ба) не носит общего характера, так как
канонический параметр на любой геодезической определен лишь
§ 6. Отклонение геодезических
27
с точностью до линейного преобразования (см. § 2). Действительно, мы
имеем
| Ж " У. ^ = u W)- (1.132)
Это выражение обращается в нуль при двух обстоятельствах: а) если Г(о) -
изотропная геодезическая, так как в этом случае UJU1 = 0, и б) если
кривые представляют собой обычные геодезические и и = s на каждой из них,
поскольку в этом случае U^1 = ± 1. При любом из этих условий мы имеем
вдоль Г(о)
Pwi
(/iV^const, или rji -gu - const. (1.133)
В частности, если V1 (или rj*) ортогонален к Г (у) в
какой-нибудь точке,
ортогональность сохраняется всюду на Г (у).
Изотропные геодезические играют чрезвычайно важную роль в теории
относительности, поскольку почти все астрономические сведения мы получаем
с помощью оптических средств, т. е. с помощью фотонов, а фотон, как мы
убедимся позднее, распространяется в пространстве - времени вдоль
изотропной геодезической. В качестве подготовки к
дальнейшим физическим построениям мы рассмотрим здесь геометрию
изотропных
геодезических несколько более детально.
Пусть Сг и С2 (фиг. 5) - две временноподобные кривые (не обязательно
геодезические, хотя и могли бы быть таковыми), и пусть они изображают
соответственно движение наблюдателя и источника света.
Пусть Pj - некоторая точка на Сг. Полная совокупность изотропных
геодезических, проходящих через Рj, образует изотропный конус. При этом
можно говорить о двух областях; одну из них называют областью прошедшего,
а другую - областью будущего (см. гл. III). Здесь мы рассмотрим только
область прошедшего. Кривая С2 пересекает эту область в некоторой точке
Р2, и можно говорить, что изотропный конус отображает Рх на Р2. Таким
образом, кривая Сг в целом отображается на кривую С2 в том смысле, что
каждой точке на Сх ставится в соответствие точка на С2. На фиг. 5
показаны две из изотропных геодезических (РjP^, QtQ2), которые
осуществляют такого рода отображение. Полная совокупность этих изотропных
геодезических образует двумерное пространство, которое определяется сразу
же, как только заданы Сх и С2.
Пусть щ и ы2 - два произвольных числа. Поскольку канонические параметры
на изотропной геодезической определяются с точностью до линейного
