Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
обращается в нуль:
ТЙГ = °- (1-68)
Это определение верно и в том случае, когда Г -изотропная кривая. Кроме
того, уравнение (1.68) не меняет своей формы при преобразованиях
параметра и.
Очевидно, что при параллельном переносе величина вектора не меняется, а
также не меняется и скалярное произведение двух векторов:
б и1
Ьи
6Vj
: 0
Л =°
б и
ж^) = 0' =
(1.69)
ж^> = °-
Уравнение (1.68) определяет V1 вдоль Г, если V1 заданы в какой-нибудь
одной точке на Г. Из (1.69) ясно, что OP Xja) (см. § 3) остается ОР при
параллельном переносе. Если параллельному переносу под-
вергается также и вектор V1, то его компоненты Е(а) в ОР [см. (1.54)]
остаются постоянными.
Единичный вектор, касательный к геодезической, претерпевает параллельный
перенос, поскольку, как это видно из (1.34),
= 0- О-70)
os as '
В случае изотропной геодезической касательный вектор dxljdu
под-
вергается параллельному переносу при условии, что и есть канонический
параметр. В этом случае, согласно (1.31),
б dx1
§ 4. Параллельный перенос и перенос Ферми - Уолкера 21
Рассмотрим теперь временноподобную кривую Г, заданную уравнениями x* =
xl(s). Запишем единичный касательный вектор в виде Al = dxl/ds. Мы
определим перенос Ферми -Уолкера [324, 1327] (сокращенно перенос Ф -У)
вектора F1 вдоль Г с помощью уравнения
-^ = ^(Л*Б'-У№), (1.72)
где В1 и b представляют собой соответственно первую нормаль и первую
кривизну Г в соответствии с (1.55а). Как и в случае параллельного
переноса, это уравнение определяет F1 вдоль Г, если F1 заданы в какой-
нибудь одной точке на Г.
Важное свойство переноса Ф -У состоит в том, что единичный
касательный вектор А1 автоматически претерпевает перенос Ф -У. Легко
проверить, что для него в силу (1.55а), (1.55д) и (1.58)
^- = bAi(Alb*r-AiBi). (1.73)
Перенос Ф -У имеет сходство с параллельным переносом в смысле сохранения
нормы вектора и скалярного произведения. Таким образом, если и Vi
одновременно подвергаются переносу Ф - У, то
±(ViV1) = 2Vi^ = 2bViVi (А*В' - #Ь') = 0, (1.74)
i (UiV{) = и^ + У^ = Ь (Uy, + V У;) (AW - У В') = 0. (1.75)
Ясно, что, как и при параллельном переносе, при переносе Ф-У сохраняются
ОР и компоненты вектора в ОР.
Поскольку параллельный перенос определяется более простым уравнением, он
в математическом отношении более фундаментален, чем перенос Ф - У, однако
последний оказывается более важным в некоторых
Фиг. 3. а - параллельный перенос; б - перенос Ферми - Уолкера.
физических ситуациях. Причина этого поясняется фиг. 3. Если мы возьмем ОР
на Г так, чтобы его четвертый вектор был касательным к Г в некоторой
точке (так, что Х{4) = А1), то при параллельном переносе Х{" отклонится
от А* (если только не окажется что Г- геодезическая). Однако при переносе
Ф - У Х'4) остается касательным к Г. Таким образом, перенос Ф - У не
только сохраняет нам ОР вдоль Г, но сохраняет также ортонормированный
3-репер, ортогональный Г. Это приводит к образованию "пространственной
системы координат" для наблюдателя, "движущегося" в пространстве -
22 Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
времени вдоль Г, и, как мы увидим в дальнейшем, она оказывается именно
той системой координат, которая позволяет обеспечить правильное
релятивистское обобщение ньютоновского понятия "невращающейся системы
отсчета".
Когда Г - геодезическая, параллельный перенос и перенос Ф- У совпадают [в
(1.72) нужно положить 6 = 0] при условии, если Г - неизотропная
геодезическая. Поскольку перенос Ф - У связан с s, он оказывается
неопределенным вдоль любой изотропной линии.
Чтобы завершить рассмотрение переноса Ф - У, рассмотрим ОР А,(а),
подвергающийся переносу Ф - У вдоль Г так, что
Х|4) = Л' (1.76)
представляет собой единичный вектор, касательный к Г. Каждый из четырех
векторов 6X(a)/6s можно отнести к реперу, и мы записываем
bV
-5T- = Q(" ь)Л(Ьс)^(с), (1.77)
где г] - множитель, определяемый в (1.45), введен ради удобства
обозначений. Умножим на X(d)i и воспользуемся условиями
(1.44); это дает
, (1-78)
ибо
Но в силу (1.72)
п(Ьс).
6s
'TJ(cd) = fid- (1-79)
-kUB1), (1.80)
6s
Q(ad) = 6 (B(a)^(d4) - ?(d)T](a4)) > (1 -81)
где
Я(") = ВД,) (1 -82)
есть инвариантные компоненты вектора первой нормали в 4-репере [см.
формулы (1.54)1. Инвариантная матрица Q играет важную роль, так как она
характеризует поведение ОР при переносе Ф - У. Она кососимметрична, и все
ее элементы тождественно равны нулю, за исключением следующих:
Q(4a) =-Q(4a) = 66(a), (1.83)
где греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3.
Если перенос Ф - У применить, в частности, к вектору F(, ортогональному в
некоторой точке на Г к касательному вектору Л\ то ортогональность,
разумеется, сохранится. Тогда уравнение (1.72) примет более простой вид:
Ц^ = ЬА%В{. (1.84)
Это правило переноса впервые было сформулировано Ферми [324] в 1922 г. Мы
будем называть его переносом Ферми, однако использовать его будем только
для векторов, ортогональных к А1.
Вращение ортонормированного 3-репера (В*, С\ D1) относительно
