Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Прим. ред.
а) Абстрактная геометрия заимствует понятия из элементарной физической
геометрии, и это приводит к значительной семантической путанице. Геометр
склонен для интеграла L употреблять понятие длина. Однако это опасно, так
как слово длина уже приобрело некоторый физический смысл, который не
всегда соответствует математическому определению этого термина. Здесь мы
будем избегать понятия длина и введем его с необходимой осторожностью
лишь в гл. III.
§ 2. Производные и геодезические
II
Символы Кристоффеля: [(/, k] = ~ (gik, ,• -f gjk. t - k).
r}ft = {/\} =^ia № "].
= 4 [in(-V-8>
gij, h ~ gicFfb. +
В любой заданной точке х) 2) Р можно выбрать координаты таким образом,
чтобы в Р было
gi;,k = 0, [ij, k] = 0, rik = 0. (1.9)
Это значительно облегчает некоторые алгебраические вычисления.
§ 2. Производные и геодезические
Для векторного и тензорного полей, определенных во всей области
пространства - времени, ковариантные производные (обозначаемые
вертикальной чертой) имеют следующий вид:
n = v"4r;ava, (1.Ю)
Т% = Т% + Г+ rLria, (1.12)
Т\и = Т)л + т[аТ"-Т%Га, (1.13)
Тт = Тц,к-ТалТа,-Т%Т1а. (1.14)
Формулы для тензоров более высокого ранга имеют аналогичный вид.
Тождественно имеем
ga\k = 0, бдк = 0, gl(h = 0. (1-15)
Для скаляра ковариантная производная совпадает с частной производной.
Для векторного и тензорного полей, определенных на кривой х* = х1 (и),
абсолютные производные3) имеют вид
^ = Ж + (1.46)
<117>
= ^ + (1.18)
^i __^j I Г* 'fadlfi n° Tl /" I Q\
-ыГ-Ж+1аь11-Ж-Г>ь1а ~ШГ> I1-19)
C-20)
H Соотношения (1.9) могут также удовлетворяться вдоль заданной кривой или
при некоторых условиях в заданном подпространстве (Ферми [324],
О'Райфертай. [8401).
2) См. также: И. А СхоутениД. Дж. Строй к. Введение в новые методы
дифференциальной геометрии. М.-Л., 1939, т. 1, стр. 106.- Прим.. ред.
3) Любопытно отметить, что в работах по теории относительности формулы (1
10) -(1.15) занимали более важное положение, чем значительно более мощные
формулы (1.16) - (1 21). Однако мы будем мало пользоваться как теми, так
и другими в их явной форме. Наша цель должна состоять в том, чтобы по
возможности работать с тензорами, как можно реже пользуясь в выражениях
для ковариантных и абсолютных производных, а также для тензоров кривизны
символами Кристоффеля, которые не являются компонентами тензора. Формулы
(1.22) и (1.23) имеют фундаментальное значение.
14______Г л. 1. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
причем формулы для тензоров более высокого ранга имеют аналогичный вид.
Тождественно имеем
б и
= 0,
б и
(1.21)
Для скаляра абсолютная производная совпадает с обычной.
Как для ковариантного, так и для абсолютного дифференцирований
справедливо обычное правило дифференцирования произведений. Опуская
индексы у тензоров Л и В, можно следующим образом кратко сформулировать
это важное обстоятельство:
(ЛВ)ц = A\iB + АВ]и
6и
(АВ)
~В + А^-. б и би
(1.22)
(1.23)
Операцию абсолютного дифференцирования можно применять по отношению к
каждому из параметров векторных или тензорных полей, определенных в
подпространстве двух или трех измерений. Рассмотрим двумерное
пространство, заданное параметрическими уравнениями
х1 - х1(и, v). (1-24)
Мы имеем в нем два векторных поля:
дх' , ,4 дх'
ди
dv
(1.25)
!
Если от этих векторных полей взять абсолютные производные по у и и
соответственно, то с помощью (1.16) получим
б U< 6V' .
•йГв1йГ* <К26>
Этот результат очевиден, поскольку последнее уравнение является
тензорным и справедливо для любой координатной системы, в которой
симеолы Кристоффеля в рассматриваемой точке обращаются в нуль.
Уравнение (1.26) могло бы навести на мысль, что 8/6и и 6/6v коммутируют;
однако в обшем случае это неверно (см. § 5).
Теория геодезических (в частности, нулевых геодезических) хорошо известна
из тензорного исчисления. Однако, имея в виду приложение этого понятия к
мировой функции в гл. II, полезно изложить теорию геодезических заново,
следуя плану, принятому Мёллером ((7671, стр. 228).
Пусть С" и С]-две кривые (фиг. 1) и пусть они соединены множеством (оо1)
кривых, таких, как А0А1 и В0В1. Семейство соединяющих кривых образует
двумерное пространство, определяемое уравнениями х1 = хг(и, п), где и -
параметр, пробегающий все значения между фиксированными значениями на
концах (w# на С# и м1 на С,), а у-параметр, принимающий на каждой из
соединяющих кривых постоянное значение. Рассмотрим интеграл
Фиг. 1. Вариационная задача для геодезических с незакрепленными конечными
точками.
1
I (v) = ^{u1-u0) gij
дх' dxi ди ди
du,
(1.27)
UQ
§ 2. Производные и геодезические
15-
взятый вдоль какой-либо из кривых v = const, или в обозначениях (1.25)
I н=у ("1 - "о) 5 du-
Щ
Тогда, используя (1.26), получаем
(1.28)
dl_
dv
"1
aw
6u
du-
1il "1
" ("1 - 5 Ж - ("1 " "о) S Sij ^ du =
Uq Щ
= ("1 - "о) ("1 - "о) 5 tr 0-29>
uo
Рассмотрим теперь частный случай, когда кривые Св, Сг вырождаются в точки
