Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
X(e>4 = T,("b)^*b)i Л4")==т,("ь)Л.(Ь)1р ' (1.47)
и с помощью (1.46) получим
4o=w(b)\ *<">*=w*b)- <м8>
Теперь условия (1.44) можно записать более точно в виде
адЬ) = 6а, (1,49)
и как алгебраическое следствие этого соотношения получим
X*a)xja) = 6j. (1.50)
Два репера А,|а) и Х<а)г тесно связаны между собой2): их
пространственноподобные векторы совпадают, а
временноподобные - противо-
положно направлены.
Если в некоторой точке пространства - времени задана два ОР, Я(о> и р(а),
то они связаны друг с другом преобразованием Лоренца. Переходя
*) Конечная мера определена формулой (1.4). - Прим. ред.
2) Они образуют так называемые взаимные системы векторов.-Прим. ред.
18 Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства
- времени
к обсуждению этого преобразования, введем инвариантную матрицу Лоренца
)Р совпадают. Умно-
Эти соотношения эквивалентны выражениям для преобразования Лоренца. Нам
нужно название для номеров, стоящих в круглых скобках; будем называть их
индексами Лоренца, чтобы отличать их от обычных тензорных индексов.
Умножая второе соотношение в (1.52) на p(c)j. и используя (1.44),
получаем
означает строку, нижний -столбец, имеем в матричном обозначении
причем второе уравнение вытекает из первого, так как tj2=l.
Любой вектор, так же как и любой тензор, можно разложить на
(т. е. относительно преобразований координат), однако они зависят от
выбора ОР и оказываются либо контравариантными, либо ковариантными
относительно преобразований Лоренца для ОР.
Мы имеем следующие стандартные формулы:
Читатель быстро достигнет уверенности в обращении с индексами Лоренца и
поймет, как они взаимодействуют с тензорными индексами. Правило
"опускания и поднятия" встречается повсеместно.
Представляют особый интерес ОР, связанные с каждой точкой кривой Г в
пространстве- времени (мы будем рассматривать только временноподобные
кривые). Рассмотрим следующие уравнения:
(1.52)
(1.51)
LtiL = T], Li]L = ii,
(1.536)
компоненты по ОР А,(а). Эти компоненты инвариантны в тензорном смысле
R(abcd) -
Г) ___ г) л (я)л (Ь)л (с) л (d)
Aijkm - A(adcd)^i Лщ ,
ryijkm rbtabcd)\i *j л ft *tn A =A A(a)A(b)A(C)A(d),
V(a)=^(ab)V(b), Иа)=Т!(аЬ)Р(Ь),
(1.54)
(1.55a)
(1.556)
(1.55b)
(1.55r)
§ 8. Ортонормированные реперы и формулы Френе - Серре
19
вместе с условиями
ЛМ4=-1, BiBl = ClCi = DiDi==l. (1.55д)
Коэффициенты Ь, с и d представляют собой неотрицательные1) скаляры. Пусть
есть единичный вектор, касательный к Г; формула (1.56) совместна с
(1.55д). Тогда из уравнений (1.55а) и (1.55д) определяются В1 и Ь, из
уравнений (1.556) и (1.55д) определяются С1 и с, и из (1.55в) и (1.55д)
можно найти D1 и d. В силу (1.55д) все четыре вектора -единичные.
Установив их ортогональность, покажем, что они образуют ОР, и, наконец,
удовлетворим уравнению (1.55г).
Доказательство состоит в следующем. Согласно (1.55д), имеем
= О-57)
и, следовательно, из (1.55а) вытекает, что
= 0. (1.58)
Таким образом, Б1 ортогонален А1. Для доказательства того, что С1
ортогонален А1 и В1, образуем из (1.556) произведения
cAiCi = Ai-^ + b, (1.59)
cBfi^B^. (1.60)
Дифференцируя (1.58) и учитывая (1.55а), получаем
(1-61)
и, следовательно, согласно (1.59), имеем ДС1 = 0. С учетом (1.55д) из
(1.60)
получаем Bfi1 = 0. Таким образом, С1 ортогонален А1 и В1.
Доказатель-
ство того, что D1 ортогонален А1, В1 и С1, проводится таким же путем.
Чтобы доказать (1.55г), заметим, что любой вектор можно разложить по
реперу (А, В, С, D), и поэтому можно записать
-^ = аЛЧрЯЧуС4 + 6Д*. (1.62)
Умножая это уравнение поочередно на Ait Bit Cit и используя (1.55а) -
(1.55в) и уже доказанные условия ортогональности, получаем, что
а = р = 6 = 0, у= -d, (1.63)
и, следовательно, (1.55г) удовлетворено.
Уравнения (1.55) суть формулы Френе-Серре. Величины В1, С\ D1
представляют собой первую, вторую и третью нормали к Г соответственно, а
Ь, с, d - первую, вторую и третью кривизны.
Простейшей из всех временноподобных кривых является геодезическая. Для
нее b = c = d = 0. Следующая по сложности кривая -это временноподобная
окружность2'), определяемая условиями
Ь - const, c = d - 0; (1-64)
*) Если на Г имеют место нули для Ь, с и d, то лучше допустить для этих
скаляров как положительные, так и отрицательные значения, чтобы сохранить
непрерывность векторов В1, С1, D1.
*) Эта окружность не является замкнутой кривой. Ее, возможно,
естественнее назвать гиперболой постоянной кривизны.
2*
20______Г л. I. Тензорные формулы для риманова пространства -
времени
Для нее формулы Френе-Серре сводятся к следующим:
Ж = °- О-65)
Далее мы имеем временноподобную винтовую линию, определяемую условиями
b = const, с = const, d = 0. (1.66)
Формулы Френе-Серре для нее имеют вид
тг-ы*1. ^=cC' + MS
тг=-cBi ^ = <L67>
§ 4. Параллельный перенос и перенос Ферми - Уолкера
Рассмотрим кривую Г, заданную уравнениями х1 = х1(и), и векторное поле
V1, определенное на Г. Говорят, что вектор V1 претерпевает параллельный
перенос (Леви-Чивита [634J) вдоль Г, если его абсолютная производная
