Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 22

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 211 >> Следующая

существу, обусловлено тем, что никакой изотропный вектор не может быть
ортогональным к временноподобному вектору).
§ 8. Гауссовы координаты
Пусть хх-¦ допустимые координаты (§ 1) пространства - времени, а 2 -
гладкая гиперповерхность, определяемая уравнениями х1 - fl (|), где \
означает совокупность трех параметров (греческие индексы пробегают
значения 1, 2, 3). Пусть Vх (?) - векторное поле, определенное
непрерывным образом на 2. Проведем в обоих направлениях через точки,
лежащие на 2, геодезические, касательные к U1. Допустим, что и -
единственный канонический параметр, выбранный таким образом, что на 2 для
определенной с помощью него геодезической и = 0, dx1 /du = Ul.
Пусть В - произвольная точка в окрестности 2, а А -точка, в которой
геодезическая, проходящая через В, пересекает 2 (фиг. 12).
Тогда мы поставим в соответствие точке В четыре гауссовых координаты (и,
§), где и берется в точке В, а Iе - в точке А. При необходимости мы будем
различать нормальные гауссовы координаты (вектор U1 ортогонален 2) и
косоугольные гауссовы координаты (вектор Vх не ортогонален 2). Гауссовы
координаты можно также обозначить через х1, полагая
Фиг. 12. Гауссовы координаты х1, (xQ = ?= и).
Iе, Х* = и.
(1.203)
Гауссовы координаты имеют два важных достоинства. Во-первых (как мы
покажем), они являются допустимыми координатами и поэтому благодаря
простоте их построения представляют собой конкретный пример к определению
допустимости, общая формулировка которого могла бы показаться чисто
формальной. Во-вторых, использование гауссовых координат иногда упрощает
вычисления.
Для доказательства допустимости гауссовых координат заметим, что на любой
из геодезических для координат, допустимых по предположению, мы имеем
6 dx1 d2xl_______________________"г dx> dxk______________________"
б и du ~ du2 du du '
(1.204)
и, следовательно,
xl = (hA + U (U%(TikUWU +..., (1.205)
где индекс А означает, что значения стоящих в скобках величин взяты в
этой точке. Так как х1 допустимые, то Г-символы на 2 непрерывны и,
следовательно, члены разложения (1.205), выписанные в явном виде, не
зависят от того, с какой стороны мы приближаемся к 2 в пределе и->0. Это
может оказаться неверным для членов ряда, содержащих более высокие
степени и, так как допустимость х1 не предполагает непрерывности
производных от Г-символов, поскольку они содержат вторые производные gtj.
Но члены (1.205), выписанные в явной форме, - это все, что нам нужно. С
их помощью мы
40 Г л. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
вычисляем следующие величины для и = 0:
дх1 _ dfl дх4 _ yi
~д^~~^' ~дх*~~ '
дгх* д*р дгх1 _ ди1
(1.206)
dxQ дха дх° дха ' дх° дх4 дх° '
Все эти величины на 2 непрерывны. Другими словами, преобразование х->х
относятся к классу С2. Следовательно, из формул преобразования
ция класса С1. Это означает, что х1 - допустимые координаты. Таким
образом, доказано, что гауссовы координаты являются допустимыми.
Переходя теперь ко второму свойству гауссовых координат, запишем
дифференциальные уравнения геодезической (1.204) с помощью гауссовых
координат х1. Так как х° - const, х4 = ы, то уравнения сводятся к
Возникают две возможности. Допустим, во-первых, что векторы U1 изотропны.
Тогда геодезические, которые мы использовали при построении гауссовых
координат, изотропны, и g44 = 0, так что 'вследствие (1.209)
Предположим, во-вторых, что векторы U1 временно- или
пространственноподобны. Нормируем их, положив
Тогда на геодезических du = ds и g44=e, так что в силу (1.209)
*) Координаты, отвечающие условиям (1.213), называют полугеодезическими,
и в случае (1.210) - изотропно-полугеодезическими. - Прим. ред.
(1.207)
вытекает, что g{j и Г>д на 2 непрерывны. Поэтому в силу (1.8) &,• - функ-
(1.208)
или в эквивалентной записи
2 dg,-4 _ dgtt дх* дх1
(1.209)
(1.210)
giiUiU, = *=±\.
(1.211)
(1.212)
В частном случае нормальных гауссовых координат имеем1)
g04 = 0, g44 = e.
(1.213)
§ 8. Гауссовы координаты
41
Гауссовы координаты можно построить не только на трехмерном пространстве
2, как это сделано выше, но и в точке, на кривой или на двумерном
пространстве. Однако деталями этого вопроса мы заниматься не будем *).
При использовании нормальных гауссовых координат формулы для тензора
Римана, тензора Риччи и тензора Эйнштейна несколько упрощаются. Опуская
черточки над гауссовыми координатами и не заботясь об их геометрической
конструкции, мы можем кратко сформулировать следующие результаты.
Пусть имеется система координат хг, для которой метрическая форма имеет
вид
Ф = guvd*11 + е (dx4)2, е=±1. (1.214)
Тогда
go4=0, g44=e>
gQ4 = 0, g" = e, (1.215)
g0"gc3 = 6?.
В таком случае с помощью формул § 5 мы получаем следующие выражения:
RqHVO = Royiva "Ь 8 (goer, 4guv, 4 gov. 4gaji, 4)1
RqilIo = ~2 {Diigoa, 4-^ogyca, 4)> (1.216)
Rykia = RiQOi = §QO, 44 ga^goa, 4gag, 4j
Ryiv = Ryiv "Ь ~2 (r)g(4V, 44 "b 4 2 (r)ga^ff|4(r)i 4gvP, 4i
Ryil = ~2 goa iPpSoo, 4 Dq8v.o, 4) = ~2 И 2 4" (1.217)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed