Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 21

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 211 >> Следующая

(x) - 0, остаются на этой поверхности. Далее
(1.196)
1) В общей гамильтоновой теории соотношение (1.175) гласит, что
ковариантный вектор yi ортогонален волне, однако вопрос об
ортогональности луча (dx4du - контравариантный вектор) и волны нельзя
поставить, пока не введена метрика gij. а) Трехмерное подпространство х*-
const изотропно тогда и только тогда, когда
g** = 0. (1.193а)
§ 7. Гамильтонова теория лучей и волн
37
Дифференцируя теперь (1.193), получаем
giy/ii/l/* = 0, (1.197).
ИЛИ, поскольку f\jh - f\hj,
Таким образом, (1.196) дает
ёиЫш = 0. (1.198)
япег-0' о-1")
и, следовательно, кривые (1.194) являются изотропными геодезическими.
Итак, мы можем сформулировать следующую теорему геометрии изотропных
поверхностей: все изотропные геодезические, касательные к изотропной
поверхности, лежат на этой изотропной поверхности, и если их уравнения
записаны в виде
(1.194), то и является каноническим параметром1). Воспользуемся этим
геометрическим результатом применительно к гамильтоновой теории,
рассматривая изотропные геодезические
(1.194) на /(х) = 0 как систему. Сравнивая (1.185) с (1.194), мы видим,
что yi = /),• , и, таким образом,
^ г/i ^ = 0 (1.200)
С С f=a3 Г -
для каждого замкнутого контура на гиперпо- *-а'
верхности /(х) = 0. Следовательно, мы имеем Ф и г. 9. Изотропные волны
связную систему, в которой лучи являются изо- и связанные с ними изотроп-
J J г т. J ные лучи,
тропными геодезическими. 1ак как
о о
^yidxl=^df = 0 (1.201
для каждой незамкнутой кривой на гиперповерхности / (х) = 0, то отсюда
следует, что упомянутая выше гиперповерхность есть волна (в
действительности единственная волна), связанная с данной системой
изотропных лучей. Мы назовем ее изотропной волной. Ясно, что уравнение /
(х) = const, где / (х) удовлетворяет уравнению (1.193), определяет
совокупность изотропных волн, как это проиллюстрировано на фиг. 9
(изображение чисто символическое, так как на каждой изотропной волне в
действительности должно быть оо2 изотропных лучей).
Рассмотрим теперь коротко, имея в виду соотношение (1.180), конструкцию
связной системы, исходя из подпространства W, на котором задана функция
U'.
Прежде всего рассмотрим случай, когда W представляет собой единственную
точку пространства - времени. В этом случае U' - просто константа, и
второе условие в (1.179) исчезает. Мы должны удовлетворить лишь
соотношению о (х', у') = 0, чего можно достичь, выбирая вектор yi таким
образом, чтобы его экстремум лежал на одной из поверхностей coj = 0, (о2=
0,
J) В каждой точке на изотропной поверхности бесконечно малый изотропный
конус имеет одно общее с изотропной поверхностью направление и
соприкасается с этой поверхностью вдоль данного направления. Изотропные
геодезические (1.194) образованы из бесконечно малых касательных
векторов. ¦
38______Г л. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
ю3=0 (см. фиг. 8). Соответствующие экстремали будут изотропными,
временноподобными или пространственноподобными геодезическими. Для
изотропных геодезических вдоль лучей мы имеем у^хх = 0, и, таким образом,
Временноподобны/;
лучи
Фиг. 10. Лучи и волны, берущие начало в единственной точке W пространства
- времени.
из (1.180) следует, что U (х) = U' - постоянная. Поскольку волны задаются
уравнением U (х) = const, мы видим, что полное множество изотропных
геодезических, исходящих из фиксированной точки W, образует единичную
волну, т. е. изотропный конус (частный случай изотропной поверхности,
рассмотренной выше). В случае временноподобных или
пространственноподобных лучей мы получаем волны, полагая постоянной меру
вдоль лучей. При этом получаем гиперсферы (напоминающие скорее
гиперболоиды в обычном пространстве). Расположение лучей и волн для
случая, когда W представляет собой единственную точку, изображено на фиг.
10.
Заканчивая изучение лучей и волн в пространстве - времени, рассмотрим
случай, когда W - временноподобная кривая, определяемая уравнением Xх' -
Xх' (v). Мы должны задаться некоторой функцией V (и) и выбрать затем у^
так, чтобы
"(*¦,!,')-0, (1.202)
С точки зрения ^-пространства (см. фиг. 8) второе уравнение определяет
трехмерную гиперплоскость, ны берущие начало котоРая рассекает одну или
более полос со-поверх-
на'временноподобной ностей, образуя требуемые г/-векторы. Рассмотрим
для
кривой W в простран- определенности лишь пересечения этой гиперпло-
стве - времени. скости с поверхностью ioj = 0, что дает изотропные
лучи. В общем случае можно получить такие пересечения и, следовательно,
систему изотропных лучей и волн, изображенных на фиг. 11, где изотропные
волны изображены так, как если бы они были двумерными (в
действительности, они трехмерные). Здесь существует один особый случай,
именно, когда мы полагаем U' = const. В этом случае второе из условий
(1.202) не может быть удовлетворено ни одним из у-век-
М
§ 8 Гауссовы координаты
39
торов, имеющих экстремум на поверхности их = 0 (это обстоятельство, по
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed