Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
^44=YC-TB:
+ ; (1.218) Gjiv = Guv + ~2 egnv, 44 + sAgyiv, 4 -
2 4gvp, 4 - egnv В ) '
G^4 = Ryii = ~2 An-2^>0^a'4' (1.219)
Используемые здесь символы имеют следующий смысл:
*) См., например, А. 3. Петров, Пространства Эйнштейна, М., 1961, § 7.-
Прим. ред.
А 2 Г л. I. Тензорные формулы для риманова
пространства - времени
Ryyiya = Субтензор Римана1) (т. е. тензор Римана в подпространстве х4 =
const),
Ryiv - Субтензор Риччи (тензор Риччи в подпространстве х4 = const),
R = Субинвариантная кривизна (кривизна в подпространстве (1.220)
х4 = const),
Gjiv = Субтензор Эйнштейна (тензор Эйнштейна в подпространстве х4 =
const).
DM = Оператор ковариантного дифференцирования при х4 = const,
^ = Mnv,4, В = g^gWgllQt 4gva, 4, C = g^v,44. С1'221)
§ 9. Условия соединения на трехмерной гиперповерхности разрыва
Вспомним, что в § 1 предполагалось существование в пространстве - времени
допустимых координат, для которых gi; и gi)>h непрерывны на любой
трехмерной гиперповерхности 2. Если 2 есть в некотором смысле трехмерная
гиперповерхность разрыва, то разрывы могут иметь место лишь для второй и
более высоких производных gijy коль скоро координаты допустимые. Нам
предстоит рассмотреть такого рода ситуацию.
Пусть дана гиперповерхность 2 (она может быть изотропной); перейдем от
первоначальных допустимых координат к новым допустимым координатам2),
таким, чтобы уравнение, определяющее 2, имело вид х4 = 0. Тогда на 2
непрерывными будут величины
gyl gA gii,h; Г}*; gij>k; (1.222)
так как они содержат не более одного дифференцирования по х4. (Здесь, как
обычно, латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие - 1,
2, 3.)
Непрерывны также gi^ka, но относительно gijt 44 может оказаться, что они
терпят разрыв.
Тот факт, что какая-либо величина непрерывна при прохождении через 2,
будем отмечать с помощью символа [С]. Тогда в силу (1.85) и (1.222) имеем
^?apve=[G], ^?ap46=[G],
D _Г, _1 , гГ1 d-223)
Aa44p - K4ap4 - ^ gap, 44-Г (Ь J.
4) Каждое трехмерное пространство x4=const является римановым с
фундаментальным тензором gap = gaр и ему сопряженным ga$ = см. (1.215).
Величины с черточкой наверху вычисляются в каждом трехмерном пространстве
обычным образом. Их называют субтензорами, так как они подчиняются
правилам для тензора не
при преобразованиях х1 общего вида, а лишь при преобразованиях х&, когда
х4 остается неизменным (Синг и Шилд [1190] стр. 67).
[Это замечание автора, неверное вообще, справедливо в том, и только в том
случае, когда трехмерное пространство (вообще - подмногообразие любого
числа измерений) неизотропно; в частности, эти формулы имеют место в
случае (1.213).- Прим. ред.]
2) Возможно, хотя и не обязательно,-к гауссовым (косоугольным, если 2
изотропна).
§ 9. Условия соединения на гиперповерхности разрыва
43
Следовательно,
Rap = g1'Riaflj - gMR4ар4 + [С] = gUgaр, 44 + [С],
Rah = gllR:aii = glPRhah$+ [С] = - ^ g^gaf,, 44 + [С], (1.224)
^44 = g RiUj - ga^Ra.k 4Р - ga^ga$, 44 + [С]
И
R = ё"Р^ар + 2g"4tfa4 + g44tf44 = (g"Pg44 - g"4gP4) gap, 44 + [С].
(1.225) В таком случае
Ri = gijRai = g^Ra P + g44tfa 4 = [C],
, (1.226)
^ = gliRn = giaRia + g^Ru = Y (g44g"P - g4"g4P) gap, 44 + [C]
и, следовательно,
Ga = tfa = [C], <5 = /?:-i-/? = [C], (1.227)
или
G\=[C]. (1.228)
Это есть система четырех условий соединения: смешанные компоненты G*
тензора Эйнштейна на гиперповерхности х4= 0 непрерывны, если координаты
являются допустимыми. Они эквивалентны, очевидно, тому факту,
проверяемому непосредственным вычислением, что компоненты G\ не содержат
вторых производных по х4.
Предположим, мы хотим теперь перейти к другим системам допустимых
координат. Рассмотренные выше допустимые координаты, для которых
уравнение 2 имеет вид х4 = 0, удобно обозначить через х1. Пусть для любых
других допустимых координат х1 уравнение 2 записывается в виде / (х) =
0. Тогда f,j есть ковариантная нормаль к 2, а G\ f,j -
вектор, который в х-координатах имеет значение G* и который, как
мы видели, непре-
рывен на 2. Поскольку преобразование х -> х относится к классу С2,
условия соединения теперь гласят: для любых допустимых координат
G\f,i=[C], (1.229)
т. е. непрерывны на 2.
Мы освободились от тех специальных допустимых координат, для которых
уравнение, определяющее 2, имеет вид х4 = 0. Сделаем теперь еще один шаг
в направлении освобождения от специализации координатной системы. Пусть
х1 - произвольные допустимые координаты, ах1 - новые координаты (уже не
являющиеся более допустимыми), полученные из х1 с помощью преобразования,
относящегося всего лишь к классу С1. Компоненты gtj остаются на 2 все еще
непрерывными (так как уравнение их преобразования включает только первые
производные дх1 !дх'), но первые производные метрического TeH3opagiJ>fe
уже могут теперь иметь на 2 разрывы. Однако G'if j - вектор, и уравнения
преобразования его компонент содержат лишь первые производные дх'/дх'.
Таким образом, мы приходим к следующему результату (Израэль [4941)1). Для
