Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ортонормированного З-репера(триэдра) векторов Ферми А,(а) обсуждается в
гл. III, § 9.
§ 5. Тензоры Римана, Риччи и Эйнштейна
23
§ 5. Тензоры Римана, Риччи и Эйнштейна
Тензор Римана (или тензор кривизны) можно представить в нескольких
эквивалентных формах. Именно,
Rijhm - ~2 (§im, jh "Т" ?jh, iт ?ik, jm §jm, ik) 4"
4-g"b([tm, a) [jk, b] - [ik, a] [jm, b]), (1.85)
Rijhm- Y ^ Sjh.'im ~ ?ih, jm-'? jm, ih) ?ab(^im^jh - jm), (1-86)
Rijkm = [jrn> i],h-[}k, i\,m+Tjk[itn, a\-Y%a[ik, a], (1.87)
Pl- jbm = rjm, ft - r)fc, m + Г"тГай - ГдгГатп- (1.88)
Тензор Римана удовлетворяет следующим уравнениям симметрии:
^ijhm ^jikm ^ijmh (1.89)
^iabc + ^ibca +-^icab = 0. (1.90)
Число независимых компонент Rijkm равно 20. Наиболее компактным способом
представить этот тензор позволяют обозначения, когда каждой упорядоченной
паре индексов из ряда 1, 2, 3, 4 сопоставляется индекс из ряда 1, 2, 3,
4, 5, 6, по схеме
23<----s-1, 31 <---->2, 12<---->3,
14 <--->4, 24 <---->5, 34 <--->6. ^
Все отличные от нуля ковариантные компоненты тензора Римана составляют
симметричную 6 х 6-матрицу Rab, где прописные буквы принимают значения 1,
2, ..., 6. Например,
^2331 = ^3123 = ^12 = ^21" g2^
^2314 = ^1423 = ^14 ~ ^41-
Эта матрица содержит 21 элемент, что связано с характером ее симметрии.
Циклическое тождество (1.90) приводит к уравнению
•^2314 4" ^3124 ^1234 = ^14 4" RiS 4" Rse = (1.93)
что сокращает число независимых элементов указанной матрицы на единицу.
Для ковариантного и абсолютного дифференцирования в двумерном
пространстве х' = хг (и, v) правила коммутации имеют следующий вид (мы
обозначаем U1 = дх1/ди, V1 = dxildv)\
Ti\jh Ti[kj - R . ijkT a, (1-94)
= O'95"
Tij | hm Tij | mk = R. ikmTaj ~T R ¦ jhmTia, (1.96)
fATij A2T'J
таг - те=K'"bcT°'ubv°+R}.aberw. (1.97)
Аналогичные правила коммутации имеют место для тензоров более высокого
ранга. Эти правила легче всего проверить, используя координаты, для
которых в рассматриваемой точке rjfe = 0.
24 Гл. /. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
a (!•")
Тензор Римана удовлетворяет тождествам Бианки:
Rijab | с 4" Rijbc | а 4" Rijca | b ~ 0. ( 1.98)
Риманова кривизна, связанная с парой векторов, ?1 и tj1, есть инвариант
gabcdlVlV где
?ab,d = ?ac?bd-gad?bc- (1.100)
Тензор gabcd имеет тот же характер симметрии, что и тензор Римана. Для
пространства постоянной кривизны К имеем
Rij km^Kgijkm- (1-Ю1)
Пространство - время будет плоским тогда и только тогда, когда
выполняется условие Д1зьт = 0. В плоском пространстве - времени
существует система координат, такая, что
ft, = Tki = diag(l, 1, 1, -1), (1.102)
ds2 = ец^йх1 dxi = е [(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3f - (dx*)2]. (1.103)
Приведение к такому виду в отдельной точке, разумеется, всегда
осуществимо.
Тензор Риччи Rti определяют следующим образом1):
Ъ , = (1.Ю4)
Подробнее
Д0=Г2{>3-Г?-,а4-ГИ-Г?ГЬь, (1.105)
j [In (-g)], и-П, а ~у П[In (-g)], а + T^Tlj. (1.106)
Инвариант кривизны имеет вид
R = gi,Rij = Rl (1-Ю7)
а тензор Эйнштейна -
Gij = R,t-Y&iR = Gii' (1Л08>
или в смешанной форме
G) = R)-±6)R. (1.109)
В силу тождеств Бианки (1.98) тензор Эйнштейна удовлетворяет четырем
законам сохранения (или тождествам), записываемым в виде следующих
уравнений:
G",a = 0. (1.110)
Эти уравнения имеют важный физический смысл, связанный с сохранением
импульса и энергии. Их можно также записать в виде
Cfaa = 0. (1.111)
С помощью умножения (1.110) на {-g)1/2 уравнения сохранения можно
представить в следующих альтернативных формах (Мёллер [767], стр. 337,
338):
[(- g)''*G"], a - у (- g)'h Gabgab, t = 0, (1.112)
[(-g)VtG?], a + y (-ё)1/2Оаь?аЦ = 0. (1.113)
i) Некоторые авторы берут это выражение с обратным знаком.
§ 5. Тензоры Римана, Риччи и Эйнштейна
25
Рассмотрим кососимметричную величину eijkm, определяемую следующими
свойствами: а) она равна нулю, если два индекса совпадают; б) е1234 = 1 ;
в) она меняет знак, когда два индекса меняются местами. Дискриминантный
тензор *) в контравариантной и ковариантной записях определяется
соотношениями 2)
= (1.114)
^lij'bm ( S) (r)ijkrn•
Тензор, дважды дуальный3) по отношению к тензору Римана, имеет вид
gijhm = ^ Tli^b^abcdT1cdhm, (1.115)
или (что эквивалентно) в смешанной форме
Urn = 4 = - Т ( U 16)
Так, например,
я2323 =_я:414, tf2331 =-tf2414, ^!234 =-^1234. (1.1 17)
В силу (1.115) имеем также
gR>(tm)=-Rli23, gRs(tm)=-R2i31, gR1Mi=-R3il2- (1.118)-
Дважды дуальный тензор удовлетворяет условиям симметрии
j^jihm __ __ j^ijmk _ J^kmij ^ j JJQy
^iabc + ^ibca + ^icab=;;o. (1.120)
С точностью до поднятия индексов эти уравнения совпадают по форме
с условиями симметрии (1.89) -(1.90) для тензора Римана. Условия
(1.119) очевидны, а (1.120) следует из (1.119), если среди индексов
(iabc) имеются одинаковые. Таким образом, (1.120) вытекает из (1.118) и
(1.93).
Дважды дуальный тензор интересным способом связан с тензором Эйнштейна.
Полагая в (1.116) m = i, получаем
S"" = i0&l?"b • (1.121)
где
Si?d = ei}abeiftC(1. (1.122)
