Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 19

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 211 >> Следующая

пространство, вложенное в У8, а совокупность трехмерных пространств,
причем каждое из них (назовем его К3) ассоциировано с какой-либо точкой
пространства -времени. По существу, мы должны представить себе
четырехмерное ^-пространство, отнесенное к каждой точке х, и
рассматривать Y3 как трехмерное подпространство в ^-пространстве.
Уравнение этого подпространства имеет вид а(х,у) = 0, где х1 фиксированы.
В у-пространстве координатами являются у{. Для обеспечения инвариантности
теории относительно произвольных преобразований х1 в пространстве -
времени необходимо, чтобы подынтегральное выражение в (1.163) было
инвариантом. Это означает, что yt должен преобразовываться как
ковариантный вектор.
С точки зрения У8 экстремаль представляет собрй кривую на 2. Сточки
зрения пространства - времени,- это кривая х1 = х1 (и), несущая связанное
с нею векторное поле г/;=^/; {и). Необходимо совершенно твердо усвоить,
что мы имеем дело с одной и той же математической теорией, и лишь
геометрическая интерпретация меняется при переходе от У8 к четырехмерной
геометрии пространства - времени. Начиная с данного момента, мы навсегда
примем пространственновременную точку зрения, так что точка будет
означать совокупность величин хг.
Когда две точки А{х') и В (х) заданы, может случиться, что связывающей их
экстремали не существует. (На самом деле подобный случай является скорее
исключительным, хотя его и не следует упускать из виду.) Предполагая, что
такая экстремаль существует, запишем
(1.165)
dx1 _______ да> dyi _ да>
(1.167)
du dyi ' du $xi
В
S(x', x) = S[A, В)= 5 М**.
(1.168)
Л
где интеграл берется вдоль этой экстремали. Это и есть гамильтонова
$ 7. Гамильтонова теория лучей и волн
33
главная или характеристическая*) функция. Если теперь изменить А и В и
сравнить вновь полученную экстремаль со старой, то из (1.165) следует
(интеграл для экстремали обращается в нуль):
bS = yi6xi-yi,6xi'. (1.169)
Если восемь дифференциалов Ьх1, дх1' могут принимать произвольные
значения (что не всегда возможно, так как мы не можем варьировать точки,
которые можно соединить единственной экстремалью), то мы имеем
dS dS ..
Vi, -гтг=-У^ (1-170)
dxi * дх1
Подставляя затем dSldx{ вместо yi в уравнение а(х, у) - 0, получаем
уравнение Гамильтона - Якоби

(*.?)="• (1.171)
Разумеется, второму соотношению в (1.170) соответствует свое уравнение.
Рассмотрим теперь совокупность экстремалей в пространстве - времени,
образующих область D, которая может быть двумерной, трехмерной или
четырехмерной. Во всей области D существует векторное поле уи заданное с
помощью экстремалей, и имеет смысл говорить о циркуляции
¦tdx* (1.172)
по любому замкнутому контуру С, содержащемуся в D. Говорят, что
совокупность экстремалей образует связную систему, если х = 0 для всех2)
замкнутых контуров С в D. Экстремали, образующие связную систему, будем
называть лучами. Пусть в случае связной системы А и В суть соответственно
фиксированная точка и переменная точка в D. Тогда, поскольку х - 0,
интеграл
в
I(A,B)=^yidxl (1.173)
А
не зависит от пути интегрирования. Если Ь- некоторая константа, то
уравнение
I(AtB) = b (1.174)
ограничивает область изменения точки В подпространством в D. Это
подпространство называют волной. Меняя константу Ь, мы получаем
совокупность волн. Легко видеть, что (поскольку х = 0) эта совокупность
волн не зависит от выбора А в D. Фактически волны представляют собой
интегралы полного дифференциального уравнения
&Ас* = 0. (1.175)
Следует особо отметить, что не каждый набор экстремалей определяет лучи и
волны. Последние определены только для связных систем, для которых х = 0
и, следовательно, уравнение (1.175) интегрируемо в D.
Простейшей совокупностью лучей и волн может служить набор экстремалей,
проведенных из фиксированной точки А и образующих область D.
Легко показать, что эта совокупность является связной. Именно,
если
') Нельзя смешивать ее с мировой функцией Q, введенной в гл II. В
римановом пространстве Q и S тесно связаны друг с другом, а именно S2 = |
2Й |.
2) Для простоты рассмотрим лишь случай, когда D - односвязная область.
I Дж. Л. Синг
34 Гл. I. Тензопные формулы для риманова пространства
- времени
S (А, В) -¦ главная функция, то в силу (1.169) для любого замкнутого
контура С в D мы имеем
yidxt = §dS = 0. (1.176)
с с
Соответствующие волны задаются уравнением
S (А, В) = const, (1.177)
где В - переменная точка. Точнее говоря, волнами будут
пересечения
поверхности (1.177) с областью D.
Интеграл (1.173) для связной системы является функцией только В,
поскольку А фиксирована. Эту функцию называют одноточечной главной
функцией системы. Обозначив ее через U (х), уравнение для волн можно
записать в виде
U(x) = const. (1.178)
Построим теперь связную систему более общего вида, исходя из некоторого
подпространства W пространства - времени. Подпространство W может быть
нулевого, одного, двух или трех измерений. Зададим в W некоторую функцию
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed