Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
справедливости формулы (1.247).
Аналогично для V3 имеем
cx'>h = е (N) r\iihm Nmd3v, (1.249)
где N' - единичный вектор, нормальный к V3, такой, что, рассматривая его
совместно с упорядоченными ребрами 3-ячейки в качестве четвертого
измерения, мы получаем 4-ячейку той же ориентации, что и параметрические
линии координат; d3v - инвариантный 3-сбъем ячейки. Для V4 имеем
d c'ikm = r^h n d4v, (1.250)
Фиг. 14. Двумерная ячейка на V,.
48 Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства
- времени
где dtv - инвариантный 4-объем при условии, что ориентации 4-ячейки и
параметрических линий координат совпадают; в противном случае должен
появиться знак минус.
Поскольку ковариантная производная дискриминантного тензора равна нулю,
мы можем теперь записать формулы Стокса (1.244) - (1.246) в следующем
виде:
= J (Ti^km)bz(M)z(N)MhNmdiv, (1.251)
Vi v2
J (ПХ/^^Л!)Nmd3v, (1.252)
V2 VS
§ Tm dx^ J (Tijkt\iikni)\m dtv. (1.253)
V8 v4
В соотношениях (1.252) и (1.253) выражения, стоящие слева, можно было бы
переписать так, чтобы они в явном виде содержали инвариантный элемент
объема. С учетом (1.249) из соотношения (1.253) получаем
§Tijk4tfkme(N)Nmd3v= \ (rijbr\iikm)lmd4v. (1.254)
Vs v4
Если задан какой-либо вектор Ux, то дуальный к нему определим с помощью
соотношения
и& = Ъкт1Г, (1.255)
откуда следует, что
Um = -^r)ijhmU*jh. (1.256)
Следовательно, для любого векторного поля U* соотношение (1.254) дает
(? 1)хг (N) Nt d3v - ^ U\idto. (1.257)
v8 v4
Это и есть обобщение теоремы Грина (или Гаусса -Остроградского). Отметим,
что N1 выходит из области через V3. Отметим также присутствие индикатора
e(N).
Если в соотношении (1.240), (1.244) или (1.251) сжать в точку, то
интеграл в левой части обратится в нуль, и в результате окажется, что
интеграл по замкнутому контуру V3 обращается в нуль. Аналогичным образом
можно сжать в точку V3 в (1.241), (1.245) или (1.252). Однако если бы
пространство -время не было многосвязным, было бы бессмысленно сжимать в
точку V3 в (1.242), (1.246) или (1.253), так как это привело бы к
одновременному обращению в точку и V4. С помощью описанной выше процедуры
сведения к точке мы получаем следующие тождества для замкнутых
подпространств в пространстве - времени:
без метрики:
§Titjdx:' = 0,
Р ... (1-258)
Tti,hdx il = 0;
Vs
§ 10. Теоремы Стокса и Грана
49
с метрикой:
<§>Тщ(1т1, = О,
V*
§ (TW'^be (М) е (N) MkNm d,v = О
Va
§TiUkdxlifi = О, vt
§ (7Vni"im)l*e (N) Nmdav = 0.
Va
V*
(1.259)
4 Дж. Л. Chip
Глава II
МИРОВАЯ ФУНКЦИЯ Q
§ 1. Мировая функция й и ее ковариантные производные как двухточечный
инвариант и двухточечные тензоры
Пусть Р'(х') и Р(х) - две точки пространства -времени, соединенные
геодезической Г, которая задана уравнениями х* = ?*(н), где м -
канонический параметр (см. гл. I, § 2). Тогда значение интеграла [см.
(1.27)]
Q (.Р'Р) = Q (*',*) = -I- К - и0) ^ gvUW du, (2.1)
"о
взятого вдоль Г при Ul = d\lldu, не зависит от частного выбора
канонического параметра. Если, как мы будем предполагать, точки Р' и Р
определяют единственную геодезическую, проходящую через них, то й есть
функция этих двух точек и зависит от восьми переменных х1 , х1. Мы будем
называть ее мировой функцией1) пространства -времени.
Поскольку bUl/bu = 0, то gijUlU1 = const вдоль Г и (2.1) можно записать в
виде
Q(P'P)=Q(x',x) = ±(u1-u0fgijUiUi, (2.2)
где последний член в (2.2) вычисляется в произвольной точке на Г. Далее
мы можем так выбрать и, чтобы его значения на концах были и0 = О, Uj = 1,
и получить выражение
Q(P'P) = Q(*', x) = ±gijUiUi, (2.3)
определенное всюду на Г. Аналогично (1.36) можно записать
р
Q(P'P) = Q(jc\ х) = ± eL2, L-^ds. (2.4)
Р'
Таким образом, с точностью до множителя е(= ±1) мировая функция равна
половине квадрата меры геодезической, соединяющей Р' и Р.
Как указывалось выше, мы предполагаем, что существует только одна
геодезическая, проходящая через точки Р' и Р . Это условие будет
наверняка выполняться в случае, когда точки расположены достаточно близко
1) Эта функция была введена в тензорное исчисление Рузе [1014-1015].
См. также работы Синга [1155], Яно и Муто [1405], Схоутена ([1061], стр.
382). Ей присваивались названия функции расстояния и характеристической
функции, однако
название мировая функция применительно к общей теории относительности
представляется наиболее подходящим, поскольку Я определяет искривленный
мир пространства - времени.
§ 1. Двухточечный инвариант и двухточечные тензоры
51
одна от другой, однако существуют физические примеры, когда оно не имеет
места. В таких случаях мировая функция оказывается уже не однозначной, и
к вопросу о существовании частных производных необходимо подходить с
осторожностью. Всеобщая теория мировой функции, включающая и такие
сингулярные случаи, была бы весьма сложной. Мы будем всюду предполагать,
что геодезическая Р' Р -- единственна и что частные производные
существуют. Как мы убедимся в дальнейшем, при таком понимании мировой
