Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Р. В таком случае, как только эти точки заданы, вектор А1'в точке Р'
определяет через посредство параллельного переноса вектор А* в точке Р.
Из линейного и однородного характера дифференциального уравнения (2.70)'
следует, что А1 должны быть линейными и однородными функциями А1', так
что можно записать
Здесь коэффициенты gi}., не зависят от выбора векторов. Они
определяются2) точками Р и Р' и образуют двухточечный тензор. Фактически
по отношению к каждой точке это ковариантный вектор. Назовем g^,
оператором параллельного переноса. Может показаться, что принятое
обозначение приведет к путанице, так как через giS и gv., уже обозначен
метрический тензор в точках Р и Р'. Однако никакой путаницы здесь
возникать не должно и, как мы увидим далее, такое обозначение вполне себя
оправдывает. Если устремить Р' к Р, то получим предел совпадения
лельный перенос вдоль геодезической Р'Р, то в силу (2.71) мы имеем
Итак, оператор параллельного переноса симметричен.
Мы могли бы определить оператор параллельного переноса с помощью
соотношения (2.75), но в этом случае могло бы оказаться не очевидным, что
gt., действительно двухточечный тензор, не зависящий от ОР. Однако эту
независимость легко доказать, подвергая ОР преобразованию Лоренца (1.52).
0 О некоторых замечаниях, касающихся вопроса о сопряженных точках, см. §
9 н работу Синга [1152].
2) Мы предполагаем, что существует единственная геодезическая,
связывающая Я' и Р.
(2.71)
ISij'] Sij'
Поднятие индексов не составляет никакой трудности:
(2.72)
giy=gih.gk,}\
pW = pihp рт'У
(2.73)
Если А(а) - ортонормированный репер (ОР), претерпевающий парал-
k(a) i - S'y.A(a) и, таким образом, вследствие (1.50) и (1.48)
(2.74)
(2.75)
§ 3. Вычисление вторых производных
61
Заметим по ходу дела, что перенос Ферми - Уолкера (гл. I, § 4) также
имеет пропагатор1) (скажем, WV), такой, что вдоль любой кривой (кроме
изотропной) для переноса Ф - У
= (2.76)
где Wц> задается формулой
Wlj. = \a)i\f = Wj.i. (2.77)
Однако Wif не является истинным двухточечным тензором, так
как
он зависит от выбора кривой, соединяющей точки Р и Р'.
В случае gif.
мы эффективным образом исключили кривую, обратив ее в геодезическую.
Если сделать то же самое для переноса Ф -У, МЫ ПОЛуЧИМ Wij> = giy.
Чтобы вычислить ковариантные производные мировой функции й, обратимся к
уравнению для отклонения от геодезической (1.130):
6 и2
Kim = R.
Kl.mVm = о, ,UpUq.
Фиг. 17. Вычисление ковариантных производных мировой функции Q.
мрлв (2.78)
В § 6 гл. I мы обсуждали решение этого уравнения с помощью инвариантов;
теперь используем для этой цели оператор параллельного переноса.
На фиг. 17 показано семейство геодезических, исходящих из точки Pt и
пересекающих кривую С2, заданную уравнениями x% = xl(v); Р2 -произвольная
точка на ней. Выбирая на этих геодезических канонический параметр и с
фиксированными значениями на концах (ц = их в точке Рг -и и = и2 на С2),
мы получим двумерное пространство х1 = х1 (и, и). Полагая, аналогично
тому, как это делалось в § 6 гл. I,
?/* = - И= -
я" ¦ V до '
дх*
ди
получаем во всем двумерном пространстве
6t/i _ 61Л бг/* _
би 6u * 6Uj ~
и, поскольку точка Рг фиксирована,
0,
(2.79)
(2.80)
(2.81)
Причем численный индекс при / означает, что;вектор следует брать в точке
Рг.
Положение вещей здесь полностью совпадает с рассмотренным в гл. I, § 6,
за исключением того лишь факта, что здесь, во избежание сложных
вычислений, мы фиксировали Рг. Для геодезического отклонения мы имеем
уравнение (2.78). Пусть к1 - вектор, произвольно выбранный в точке Рх и
перенесенный параллельно вдоль геодезической, так что
^ = 0. (2.82)
9 То есть оператор переноса ("propagator").-Прим. ред.
62
Гл. II. Мировая функция Q
Умножим (2.78) на G(u,u')Xidu, где G (и, и') - симметричная функция Грина
(1.144), и выполним интегрирование от Рг до Р2. Это дает
и2 и2
jj GD2 (KV1) du + J GKimXlVmdu = 0, (2.83>
Ul Ul
где D = d/du и, следовательно, как и в (1.147),
U2 U2
J D GD (^V1) du = J GKknXkVm du. (2.84)
Ul Ul
Действуя далее так же, как и при выводе уравнения (1.149), но с учетом
(2.81), получаем
и2
Xi.V1' = k(u' - ut) Kj-уЬ + ^ GKhmbhVm du, (2.85)
Ul
где k~1 = u2 - u1. После дифференцирования по и' имеем
и' и2
и, ~ = щу'ъ - k 5 {и - Ul) KhmXkVm du + k ^ (и. - и) KkmXkVmdu. (2.86)
Ul u'
Так как вектор Хг можно выбрать произвольно в любой точке кривой PtP2
(скажем, при и = и'), то, вводя оператор параллельного переноса, с
помощью (2.85) и (2.86) получаем
U2
Vv = k(u'- иг) gi%vh + J GKhmgi,hVm du, (2.87)
Ul
6У- ¦
-ST - SF = W1 -*)("-%) Л *¦ +
U!
U2
+ ? $ (ы2-ы)/С*т^Ут^. (2.88)
U'
Это -точные уравнения. Из (2.87) можно с помощью итераций получить х)
вектор отклонения с любой желаемой степенью точности. Тогда его
абсолютная производная определится из уравнения (2.88). При такой
итерационной процедуре мы придем к ряду, коэффициентами которого будут
комбинации компонент тензора Римана. Если этот тензор мал (G^, то имеем
