Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 29

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 211 >> Следующая

венству
о II сГ (2.39)
С учетом уже полученных результатов (2.37) дает в пределе
[^fejmp] + + [^p;feml = 0> (2.40)
или в силу (2.23)
[^jfemp] "Ь [^Jmftp] "Ь [^;pftm] (2.41)
Согласно (1.96),
(r)ijhm = RihmQaj + R - jhmQia> (2.42)
и, следовательно,
(2.43)
т. е. эти пределы совпадения симметричны по второй паре индексов так
же, как и по первой паре. Это можно видеть и из (2.41) . На основании
(1.94)
(r)ijk ^ihj = R ¦ ijk^a- (2.44)
Дифференцируя и переходя к пределу, получаем
[^t jfem] 1 "i k ./ml Rmijh R\mjk' (2.45)
56
Гл. II. Мировая функция Й
Переставляя местами k и т, складывая получающиеся выражения и дважды
используя (2.43), находим, что
где Sijkm - симметризованный тензор Римана, определяемый соотношением
Тензор Sijhm позволяет описывать свойства кривизны пространства - времени
в такой же мере, как и тензор Римана. Он имеет 20 независимых компонент:
6 компонент типа1) S112a, 12 -типа Slla8 и 3 -типа Sla34, причем эти
последние удовлетворяют соотношению
Предел совпадения [Oi3-fem], разумеется, удовлетворяет тем же условиям
симметрии, что и Sijkm.
Расширяя последовательность равенств (2.35) -(2.37) путем дальнейшего
дифференцирования,' можно вычислить пределы совпадений для производных
более высокого порядка. Используя обозначения, в которых численный индекс
символизирует букву, имеем
Ши34б] = 4" (^13245 + ^13254 "Ь ^14236 "Ь ^14263 "Ь ^16234 "Ь ^1824з) I
(2.52)
где последние индексы у R означают ковариантные производные. Выражение
для [П1а8466] имеет значительно более сложный вид (Синг [1155])2).
Так как совпадение можно получить эквивалентным образом и устремляя Р к
Р', и наоборот, устремляя Р' к Р, то ясно, что в каждом из полученных
выше пределов совпадения можно над всеми индексами поставить штрихи.
Например,
Теперь следует рассмотреть случай, когда часть индексов штрихо вана, а
часть нет. При этом нам понадобится следующая лемма:
где точки означают любой набор индексов, штрихованных или нештрихованных,
одинаковый для всех символов.
Чтобы доказать эту лемму, возьмем геодезическую Г и точки Р' и Р на ней,
причем соответствующие им значения некоторого канонического
0 Заметим, что *S'liaa= - 2.Sma, 5ци=-2|91а13.
*) Этот 4-индексный предел совпадения представляет собой так называемое
"второе расширение" ("second extension") фундаментального тензора (Веблен
[1310]. стр. 97).
2 t "i h;m] ["imkyl ^imjh
Следовательно, в силу (2.41) и (2.43)
= ijhm>
(2.46)
(2.47)
3 Pirjijh)'
Этот тензор удовлетворяет условиям симметрии
(2.48)
(2.49)
^1234 + ^1324 + S1123 - 0.
/?-тензор выражается через S-тензор следующим образом: Rijhm "Ь
^inAj*
(2.50)
(2.51)
(2.53)
(2.54)
§ 2. Пределы совпадения
57
параметра на Г пусть будут равны соответственно и' и и. Рассмотрим
смешанную ковариантную производную
(2.55)
Возьмем набор (р + <7) векторов, произвольным образом выбранных в
некоторой точке Г и затем подвергнутых параллельному переносу вдоль Г.
Обозначим через Л*1'-'1? произведение первых р векторов в Р
и через В1!'' 'iq - произведение оставшихся q векторов в Р'. Образуем
двухточечный инвариант
tf(u',u) = Q. . .А11--лрВ^-"''о. (2.56)
V • • Vl' •
Выбирая {и -и') малым, так, чтобы точки Р и Р' были расположены близко
одна от другой, и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем
Н ("',") = Н (и', "') + ("-"') (if) u="' =
= H(u,,u') + (u-u,)[Q...k]P.Uh'{A...B ...fr, (2.57)
где, как уже указывалось, предел совпадения вычислен в Р', a Uh есть
касательный вектор (dxk/du) в Р'. Для простоты записи в (2.57) вместо
индексов, фигурирующих в (2.56), поставлены точки. Аналогично
Н(иг, и) = Н(и, ") + ("'-") (J^r)u.=u =
= H(u,u) + (u'-u)[Q...k.]pUh(A (2.58)
Вычтем (2.58) из (2.57), разделим оставшееся выражение на (и'- и) и
перейдем к пределу и' -> и, который соответствует совпадению Р' и Р. В
результате получаем
-= {R. .к] + [Q.. .*']}UhA ... В ... , (2.59)
где все величины теперь вычислены в точке Р. Однако
H(u,u) = [Q'")A ... В (2.60)
и, таким образом,
. (2.61)
Справедливость формулы (2.54) теперь очевидна, если сравнить
(2.59)
и (2.61) и вспомнить, что в любой заданной точке Р
пространства - вре-
мени можно произвольным образом выбрать направление геодезической Г, а
также векторы А и В.
Формулу (2.54) удобно переписать в виде
[Q. = [Q... )fc - (2.62)
В такой записи она становится своего рода инструментом, позволяющим
автоматически получать пределы совпадения при штрихованных индексах, как
только эти пределы становятся известными при нештрихованных индексах.
Например, взяв
Q... = Q4, (2.63)
получаем
[Qi*']"[Qi]"-[Q,h]. (2.64)
58
Гл. II. Мировая функция й
Мы уже знаем, что [QJ = 0, и, значит, [Qi]ft = 0. Кроме того, [Qih] =
gift. Следовательно,
Но = и, таким образом, его ковариантная производная равна нулю;
трехиндексный символ справа также равен нулю. Следовательно, мы получаем
Если ограничиться рассмотрением пределов совпадения не выше четвертого
порядка (а именно такие случаи наиболее важны в приложениях), можно
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed