Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
функции Q последняя представляет собой мощный инструмент для выполнения
последовательных приближений, причем ее применение не исключает
использования техники тензорного исчисления.
Из (2.4) очевидно, что в плоском пространстве - времени существует
система координат, такая, что
Q(x', лс)=4-г"(лс*'-лс') (xi'-xi),
(2.5)
gij = ilij = diag(l, 1, 1, -1).
Эту формулу полезно помнить, так как она дает представление о свойствах
функции й и ее производных в общем случае искривленного пространства -
времени.
Чтобы выяснить трансформационные свойства мировой функции и ее
производных, лучше всего представить себе две системы координат, скажем
С' и С, в областях D' и D пространства - времени. Эти области
перекрываются, и в области перекрытия существует непрерывное
преобразование С+~*С' (фиг. 15). (Вполне возможно, что как область D, так
и область D', покрывают все пространство - время. В этом случае областью
перекрытия будет все пространство - время.) Точка Р' лежит в D' и имеет
координаты х1' в системе С', тогда как Р лежит в D и имеет координаты х1
в системе С.
Интеграл (2.1) и в этом случае не теряет смысла при надлежащей
интерпретации: в некоторой точке перекрытия следует разбить его на две
части, используя для каждой из них координаты С' и С соответственно.
Мировая функция Q (х , х) есть двухточечный инвариант в том смысле, что
ее величина не меняется, когда мы преобразуем независимо координатные
системы в D' и D. Кратко о таких преобразованиях можно говорить как о
преобразованиях в Р' и Р.
Рассмотрим теперь ковариантные производные двухточечного инварианта I
(х',х). Все нижеследующее справедливо, в частности, и для Q (х', х),
однако поскольку мы не будем касаться специальных свойств ?2, будет более
правильным говорить о произвольном двухточечном инварианте I.
Ковариантное дифференцирование можно выполнять и по координатам Р', и по
координатам Р. Во избежание громоздких обозначений будем отмечать эти
ковариантные производные простым индексом без вертикальной черты, как это
делалось ранее. Последовательность выполнения операций определяется
порядком следования нижних индексов. Итак, мы имеем в своем распоряжении
такие величины, как
= = (2.6)
дх дх3
где символы Г вычислены в F, и
Фиг. 15. Перекрывающиеся области D' и D и определенные в них системы
координат С' и С.
52
Гл. II. Мировая функция ?2
где символы Г вычислены в Р. Эти величины, очевидно, являются функциями
координат Р' и Р и представляют собой двухточечные тензоры. Ясно, что
величины, входящие в (2.6), образуют соответственно ковариантный вектор и
ковариантный тензор второго ранга по отношению к преобразованиям в Р' и
что они инвариантны относительно преобразований в Р. Для описания таких
трансформационных свойств нельзя сформулировать единого простого правила.
Однако эти свойства сразу понятны из обозначений. Аналогичные утверждения
применимы и по отношению к величинам (2.7) mutatis mutandis*).
Мы имеем также следующие величины:
V-^Л. (2.8)
h'jk fifc/i'a. (2.9)
OX
Здесь тензорные свойства полностью определяются обозначениями. Каждое из
выражений, входящих в (2.8), представляет собой ковариантный вектор
относительно любого преобразования, тогда как (2.9) оказывается
ковариантным вектором относительно преобразований в Р' и ковариант-ным
тензором второго ранга относительно преобразований в Р. Приведенные выше
наглядные примеры должны помочь читателю освоиться с любыми ковариантными
производными.
Можно поднимать индексы в Р' с помощью gul' и в Р с помощью g'1. Таким
образом,
= /' = g% (2.Ю)
Из (2.8) видно, что
Iiy = hi. (2.11)
Это один из частных случаев осуществления общего правила перестановки:
значение любой ковариантной производной остается неизменным при
перестановке штрихованных и нештрихованных индексов при условии, если
порядок штрихованных и нештрихованных индексов по отдельности
сохраняется. Чтобы убедиться в справедливости этого правила, запишем,
например,
= (2.12)
где точки в обеих частях означают один и тот же набор индексов
штрихованных, нештрихованных или тех и других. Разумеется, это равенство
является тензорным по отношению к обоим преобразованиям. Мы проверим его
достоверность, воспользовавшись такими координатными системами, для
которых символы Г обращаются в нуль при заданном положении Р' и Р. Тогда
для некоторого выбранного нами Р и любого Р' получим
1 • • -г= дх* ^ ¦ • • ' (2.13)
и, следовательно, когда выбрано и положение Р', и положение Р,
Но, аналогичным образом,
<*•">
') С необходимыми изменениями (лат.). - Прим. ред
§ 1. Двухточечный инвариант и двухточечные тензоры
53
и поскольку выражения (2.14) и (2.15) равны между собой, справедливость
(2.12) в специальных системах координат установлена. Следовательно,
(2.12) верно и в общем случае, откуда следует, что
.у*... . (2-16)
где точки в соответствующих положениях означают одни и те же индексы,
штрихованные или нештрихованные. Это означает, что в любой ковариантной
