Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
координат, полученных из до-
9 Большинство исследований условий соединения, выполненных до введения
допустимых координат Лишнеровицем [671], нельзя считать математически
убеди-
тельными.
44______Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
пустимых координат с помощью преобразований класса С1, справедливы
условия соединения (1.229).
Наконец, оперируя с инвариантом, мы осуществим полное разделение
координатных систем по разные стороны от 2. Пусть х1 - произвольные
координаты, аф1 - контравариантное векторное поле, претерпевающее
параллельный перенос вдоль какого-нибудь наперед заданного набора кривых,
пересекающих 2. Перейдем к новым координатам с помощью кусочногладкого по
обе стороны от 2 преобразования, не требуя, однако, непрерывности
преобразования на 2 (на 2 ^-координаты могут быть разрывными функциями ^-
координат). Теперь
I = Glf,ii<p' (1.230)
есть инвариант, и он наверняка непрерывен на 2, если мы используем
допустимые координаты. Следовательно, он непрерывен и в том случае, когда
используются координаты х\ Условие соединения теперь гласит: для только
что описанных независимых координатных систем I непрерывен на 2, если Ф1
подвергается параллельному переносу через 2. В силу произвольности выбора
ф! здесь фактически получаются четыре условия аналогично (1.228) или
(1.229). Уравнение для 2 имеет вид f (х) = 0, однако функция f может
теперь иметь совершенно различный вид по разные стороны от 2.
При желании мы могли бы использовать ковариантный вектор ф4, так чтобы
непрерывный инвариант имел вид
/ = G1,7.i Ф,- (1-231)
§ 10. Теоремы Стокса и Грина
В трехмерном евклидовом пространстве теорема Стокса означает, что
интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой С, можно выразить через интеграл
по поверхности 5, ограниченной кривой С. Эту теорему обычно записывают
следующим образом:
§(udx + vdyi-wdz)-^ J [(*!_*!)/ +
+(!-?>+(?-?>]'"• <'-232)
где (ы, v, w) - векторное поле, а (I, т, п) - направляющие косинусы
нормали к 5, ориентированной таким образом, что обход контура С при
интегрировании вдоль него совершается по направлению часовой стрелки,
если смотреть из конца нормали на 5. Теорема Грина (называемая также
теоремой Гаусса Остроградского) гласит, что интеграл, взятый по замкнутой
поверхности, можно выразить через интеграл по объему, ограниченному 5.
Этот факт обычно записывается в виде
^ ^ (lu.+ mv-tnw) dS = ^ \ \ (рх + Ру + 1(1-233)
где (/, т, п) - направляющие косинусы внешней (по отношению к S) нормали.
Приведенные выше формулы можно обобщить. Следует подчеркнуть, что обычно
теорема Стокса по существу не содержит метрического тензора и что в
случае, когда метрика введена, теорема Грина оказывается частным случаем
теоремы Стокса. В целях ясности изложения приведем прежде всего
обобщенные формулы в Л'-мерном пространстве Уц без мет-
§ 10. Теоремы Стокса и Грина
45
рики, затем положим N - 4 для пространства - времени (все еще без
метрики) и, наконец, введем gi;. Эти формулы будут установлены и
объяснены, однако доказательства их здесь не приводится (Паули [881 ];
Схоутен [1061]. стр. 971)).
Рассмотрим /7-мерное пространство Vл/ с координатами х*, но (пока) без
метрики gij. Рассмотрим в VN подпространство VM, где М = 1, 2, ... вплоть
до N - 1 или даже до N (в последнем случае Vm совпадает с VN).
Пользуясь латинскими буквами для набора значений индексов 1,2 N
и греческими - для ряда 1, 2, ..., М, запишем уравнение Vm в виде х' =
х'(у), где у означает М параметров у°.
Рассмотрим в VM элементарную ячейку с М упорядоченными ребрами dQya, где
q (= 1, 2 М) нумерует ребра. Положим
det (dQya) = Д. (1.234)
Л1-ячейка положительно или отрицательно ориентирована по отношению к
координатной системе у в зависимости от того, положительно или
отрицательно Д. Тензорный объем ячейки определяется следующим образом:
j iiia ... dx*1 dx*2 dxM . /1 ooc\
dt12 M = e----------------------... Д (1.235)
¦ ¦ ¦ aM дуЪ1 ду*г даи ' V.
где е-символ есть Л4-мерный дискриминантный тензор2). Совершенно
очевидно, что выражение (1.235) представляет собой контравариантный
тензор относительно х-преобразований, кососимметричный по каждой паре
индексов. По отношению к ^-преобразованиям он представляет собой
инвариант.
Выражение (1.235) имеет особенно простой вид в двух частных случаях.
Возьмем прежде всего М= 1: ячейка одномерна и объем вырождается в
dx' - dx'. (1.236)
Положим теперь M - N и у' = х*. Мы получим
dtili2- ' '*=еМ1...,мД, A = det(djxi) (1.237)
и, взяв ячейку с ребрами вдоль параметрических линий координат, найдем,
что
Д = dx1dxi ...dxN. (1.238)
Рассмотрим далее открытое VXI, вложенное в Vx. Пусть V/M_1 - замкнутое (М
- 1)-мерное пространство, ограничивающее VM. Пусть Til... 4 _i -
ковариантное тензорное поле, определенное на Vu и его окрестности. Тогда
обобщенная теорема Стокса гласит (ограничиваемся формулировкой теоремы
без доказательства):
? Tv- v,*1' с-239"
VM-r vM
где запятая означает частную производную. Левая часть (1.239), очевидно,
