Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
пользоваться следующими правилами, которые легко проверить:
1. Перенести все штрихованные индексы вправо (согласно общему
правилу перестановок, приведенному в § 1).
2. Вычеркнуть последний штрих и изменить знак.
3. Перенести этот последний индекс вперед, присоединив его
к другим нештрихованным индексам.
4. Повторять эту процедуру до тех пор, пока все штрихи не
исчезнут.
В целях удобства ссылок здесь приводится перечень формул для пределов
совпадения и симметризованного тензора Римана:
В последней формуле, представляющей собой следствие тождества Бианки
(1.98), пятый индекс означает ковариантное дифференцирование1).
9 Теорию пределов совпадения можно свести к теории так называемых
"нормальных" тензоров (см. Схоутен и Стройк [1067], т. 1, § 11).- Прим.
ред.
(2.65)
В качестве второго примера возьмем
(2.66)
Теперь из (2.62) следует, что
(2.67)
(2.68)
(2.69)
§ 3. Вычисление вторых производных
59
§ 3. Вычисление вторых производных мировой функции с помощью оператора
параллельного переноса
Приближения, основанные на пренебрежении малыми членами, в математической
физике встречаются весьма часто, и редко возникают какие-либо причины
возражать против такого рода приближений. Интуиция подсказывает, что если
что-нибудь и окажется некорректным, то это сразу проявится в какой-либо
аномалии; в таком случае теория может быть пересмотрена. Так, в
классической гидродинамике приближение, в котором жидкость с малой
вязкостью рассматривается как среда, лишенная вязкости, приводит к
парадоксу Даламбера (тело, движущееся в воде, не испытывает
сопротивления) и исследователи обращаются к более совершенным
приближениям теории пограничного слоя.
Как только теории дана четкая математическая формулировка, при ее
дальнейшем развитии желательна математическая точность. Однако обычно это
оказывается либо невозможным (физик недостаточно хорошо знает
математику), либо слишком искусственным (детали математических выкладок
вуалируют основную линию рассуждений). В этой книге мы будем стараться
выбрать средний путь. Приближения иногда Возникают довольно наивным
образом: этот параметр мал, пренебрежем его квадратом и квадратом его
производных! В других случаях метод рассмотрения более последователен. В
частности, мы должны помнить, что понятие малости можно правомерно
применять только к безразмерным величинам, и даже в этом случае оно
относительно. Сила1) притяжения между Солнцем и Землей (в ньютоновской
терминологии) безразмерна, и ее значение равно приблизительно 3- КГ22
(см. дополнение Б). Можно ли утверждать, что она мала? Это целиком
зависит от того, с чем мы ее сравниваем.
Проводимые ниже выкладки точны в том смысле, что неучитываемые остаточные
члены здесь объединяются вместе и обозначаются символами Ох или 02,
указывающими порядок малости величин. Обосновано такое объединение тем
обстоятельством, что эти члены, вообще говоря, "малы". Нам
представляется, что самое лучшее - предоставить читателю самому
рассмотреть вопрос о тех возможных случаях, когда это не имеет места. В
данной книге мы будем время от времени возвращаться к вопросу о малости;
это следует классифицировать как признаки влияния потревоженной
математической добросовестности.
В предыдущем параграфе мы занимались вычислением пределов совпадения для
ковариантных производных мировой функции ?2 (р', р). Теперь попытаемся
вычислить эти производные в случае, когда Р' и Р представляют собой
различные, точки пространства - времени. Способ вычисления допускает
применение метода итераций, позволяющего как угодно точно
аппроксимировать истинные значения величин. Однако мы будем
интересоваться главным образом приближенными вычислениями для
пространства - времени в случае, когда характеризующий его тензор Римана
мал по величине. В таком случае в нем. можно оставить лишь члены 0Х, а
квадратичные добавочные члены 02 отбросить2).
Здесь мы будем предполагать существование производных от ?2. Это
означает, что сопряженные точки исключаются из рассмотрения. Последние
соответствуют в случае оптики фокусам, в которых собираются лучи,
исходящие из точечного источника. Легко убедиться, что такого рода точки
в физических приложениях теории действительно существуют (например, при
рассмотрении орбит планет). Их существование, однако, не лишает
*) Здесь имеется в виду гравитационная константа.- Прим. ред.
2) Относительно альтернативного пути см. гл. VII, § 9.
60
Гл. II. Мировая функция Q
теорию применимости, коль скоро из рассмотрения исключены случаи, когда Р
и Р' оказываются сопряженными. Вопрос о сопряженных точках в римановом
пространстве - времени представляет определенный интерес как с
метаматической, так и с физической точек зрения, однако мы не будем
пытаться его обсуждать1).
В качестве предварительного шага рассмотрим уравнение параллельного
переноса, которое гласит, что для любой кривой и при произвольной
параметризации на ней
-^- = 0. (2.70)
Пусть рассматриваемая кривая будет геодезической, связывающей точки Р' и
