Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1) Возражения Якоби против второго из этих уравнений см. Jacobi С. G.
J., Gesammelte Werke, т. IV, стр. 73, 74, а также в сб. Вариационные
принципы механики, стр. 289-314; некоторые замечания по этому вопросу см.
McConnell A. J. and Conway A. W.; см. Hamilton W. R., Mathematical
Papers, т. 2, стр. 613-621. Cambridge, University Press, 1940.
(72.11)
§ 72] ГАМИЛЬТОНОВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 239
а согласно (72.6)
dS
~ = - Н (q, t, р), at
dS
(72.13)
J
Уравнение Гамильтона - Якоби немедленно получается в форме
Это есть несимметричная форма (координата t играет особую роль) общего
симметричного уравнения (72.8). В этой форме оно главным образом и
употребляется.
В связи с двухточечной характеристической функцией S(x*, х) имела место
некоторая путаница. Якоби казалось, что в уравнениях (72.7) требуется
слишком много, именно, чтобы одна функция удовлетворяла двум
дифференциальным уравнениям в частных производных. Для того чтобы
выяснить этот вопрос, рассмотрим рассуждения, которые определяют функцию
S(x*, х).
Мы вовсе не будем касаться практических вычислений, которые приводят к
формуле для этой функции. В этом смысле очень немногие динамические
проблемы "разрешимы". Поскольку рассматривается математическая структура
динамики, то речь идет только об определении последовательности операций,
которые должны иметь место. Поэтому в дальнейшем мы говорим о "решении"
системы обыкновенных дифференциальных уравнений только в смысле такой
"определенности" и "нахождения" характеристической функции.
Функция S(x*, х) выводится из уравнения энергии Q(x, у) = 0 при помощи
следующих операций [для простоты будем использовать только одну систему
координат (для всех точек)]:
I) Выбираем точку х* и точку хт.
II) Выбираем у*, совместные с уравнением
(72.14)
Q(x*, у*) = 0.
(72.15)
ill'OCTPAHCTBO СОБЫТИЙ (Q'l)
|]'Л. п
III) Решаем обыкновенные дифференциальные уравнения
с начальными условиями хг = х*, у,. - у* при w - 0; получаем таким
образом луч Г, проходящий через точку х*.
IV) Придаем у* всевозможные значения, совместные с уравнением (72.15);
получаем пучок всех лучей (Г), проходящих через точку х*г.
V) Выбираем из этого пучка тот луч Г, который проходит и через точку хг,
выбранную в пункте (I). Если такого луча не существует, то для выбранных
точек не существует функции S(х*, х). Если же найдется такой луч, то
полагают
где интеграл берется по лучу Г.
Функция S(x*, х), построенная таким образом, удовлетворяет двум
дифференциальным уравнениям в частных производных (72.7) (в которых Q*
нужно заменить на Q, так как была введена только одна система координат)
.
§ 73. Динамика, основанная на выбранной двухточечной характеристической
функции. В § 72 двухточечная характеристическая функция S(x*, х) была
определена через лагранжеву функцию А(х, х') или уравнение энергии Q(a:,
у) = 0. Мы видели, что она удовлетворяет детерминантному уравнению
В сущности говоря, это наиболее фундаментальное уравнение гамильтоновой
теории, так как оно имеет одну форму для всех динамических систем, в то
время как уравнение энергии меняет свою форму при переходе от одной
динамической системы к другой.
dxr Oil dyr dQ
dw dyr ' dw dxr
(72. IB)
(72.17)
(73.1)
§ 73] ДВУХТОЧЕЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 241
Заметим, что уравнение (73.1) есть инвариант относительно преобразований
одних только переменных х или х*. Величины
(при фиксированном s) являются компонентами вектора, ковариантного по
отношению к преобразованиям переменных х, а при фиксированном г они
являются компонентами вектора, , ковариантного по отношению к
преобразованиям переменных х*. Будем предполагать, что ранг матрицы из
величин (73.2) равен N, что и будет иметь место в общем случае.
Мы покажем теперь, что любую выбранную функцию S (х*, х), удовлетворяющую
уравнению (73.1), можно положить в основу динамики1). Пусть выбрана любая
такая функция; пишем уравнения 72
Так как имеет место уравнение (73.1), то можно исключить переменные х* из
уравнений первой группы, и переменные хг - из второй группы (73.3);
получаем уравнения вида
Это - уравнения энергии, соответствующие двухточечной характеристической
функции S(x*, х); Q и Q* - различные функции, так как мы предполагаем,
что для начальной и конечной точек введены различные системы координат.
Но для получения лучей или траекторий уравнения энергии не нужны; их
можно получить непосредственно из функции S(x*, х) следующим образом.
Во-первых, пусть заданы начальная точка х* и начальное направление D*\
луч или траектория определяется
!) Гамильтон показал, что эта функция является основой онтики; см.
Mathematical Papers, т. 1, стр. 170. Cambridge, 1931.
16 дш. л. Синг
d2S
(73.2)
дхт дх%
(73.3)
Q {х, у) = 0, Q* (х*, г) = 0.
(73.4)
242
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
I. ГЛ. II
тогда уравнениями
(73.5)
дхг дх'х
где dxt соответствуют направлению D*. Эти уравнения позволяют выразить
переменные х через один параметр.
Во-вторых, пусть заданы две точки х* и хг; луч или траектория,
