Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(77.11) по qр, получаем уравнения
d2j +дН^+дН^ ,_J2j__ = о. (77.13)
dqpdt dqp dpa dqadqp
Принимая во внимание (77.7) и сравнивая полученное уравнение с (77.10),
видим, что удовлетворяются и уравнения (77.8).
Так как число постоянных (ар, Ър) равно 2N и равно числу начальных
значений (qp, рр), необходимых для определения решения систем (77.7) и
(77.8), то теорема Якоби доказана. Можно сказать, что любая динамическая
§ 77] ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ УРАВН. ГАМИЛЬТОНА - ЯКОВИ 253
проблема, по существу, решена, если только может быть найден полный
интеграл вида (77,4).
Если дан полный интеграл уравнений Гамильтона - Якоби вида (77.4), то
двухточечная характеристическая функция
S ((/i, • • •, Qni t t Qii • • •" Qni 0
получаетсяx) исключением N постоянных ap из N -f- 1 уравнений
S = J (q, t, a) - (q\ t\ a),
dJ (q, t, a) dJ (q*, t , a)
dap dap
(77.14)
Соотношение между полным интегралом и двухточечной характеристической
функцией тесно связано со следующим фактом. Полный интеграл
дифференциального уравнения в частных производных
Q (77.15)
(назовем его S(x*, х)) (в котором я* - произвольные
постоянные) можно рассматривать так же как любое
решение , того же уравнения, если принять за независимые переменные 2N +
2 величины хт и х*, из которых переменные х* не входят явно в уравнение.
Какую бы точку зрения мы не приняли, мы придем к фундаментальному
детерминантному уравнению вида (73.1)
det7T^ = 0- (77Л6>
дхт oxs
Теорему Якоби можно сформулировать в следующей симметричной форме. Пусть
S (х*, х) - полный интеграл уравнения
QiX'%)=Q' {11Л1)
!) См. Conway A. W. and Мс С о n n е 11 A. J ., Proc. Roy. Irish Akad.
А61, 18-25 (1932); Hamilton W. R., Mathematical Papers, т. 2, стр. 613-
621; а также Lanczos [15], стр. 262.
254 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) UVI. II
а величины х* - произвольные постоянные. Тогда, определяя у, как
Уг = " , (77.18)
охг
имеем уравнения
dQ d2S
т = 0, (77.19)
dys dxs дхг}
дхг ду3 дхв дхт Определим у* следующим образом:
А---.- (77.21)
т
Теперь система (77.19) заключает в себе детерминантное уравнение
(77.16), а поэтому (77.21) содержит в себе
некоторое соотношение между величинами ж? и у? ,
имеющее вид
С2*(ж*, у*) = 0. (77.22)
Если задать этим переменным произвольные постоянные значения, совместные
с этим уравнением, то уравнения
= ут - - <*'¦ *> (77.23)
дхт дх'т
определяют кривую xT(w) и соотнесенный ей вектор yr(w), удовлетворяющие
(при некотором параметре w) уравнениям
dxL = dQ (ж, у) dy^ = _ dQ (ж, у) ^ ^
dw dyr dw dxr
Для того чтобы доказать это утверждение, продифференцируем (77.23) по w;
получим таким образом
dyT d2S dxs n d2S dx,
8
§ 78] ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ 255
Доказательство следует из сравнения этих уравнений с (77.19) и (77.20).
Нужно отметить, что в действительности нам не нужно уравнение (77.22),
ибо для того, чтобы определить кривую и соотнесенный ей вектор ут,
требуется только 2N + 1 уравнений. За эти уравнения можно принять
(77.23), отбросив одно уравнение второй группы, так что в уравнения
входят только N величин у*; этим величинам и х* можно задать произвольные
значения.
§ 78. Практическое использование теоремы Якоби. Разделение переменных.
Пусть гамильтонова функция не содержит явно времени (консервативная
система; ср. § 62; этот случай часто встречается на практике). Применим
теорию, развитую в предыдущем параграфе; будем отыскивать функцию /, как
в (77.4), в форме
J = -Et + K(ql, . . ., qN, ai, , aN-ь E), (78.1)
где ai, аг, . . ., <%+1, E - произвольные постоянные. Тогда согласно
(77.3) функция К должна удовлетворять уравнению
и ( дК дК \ " *
Н ( <7i, ..., qN, -- I • • •> -- ) - Е. (78,2) \ dqi dqNl
Когда такой полный интеграл найден, уравнения (77.5) и (77.6) дают для
траекторий следующие уравнения:
. Ж . дК , дК
1 ~ '-------------------N~i==a------------- ' ' .
oai oaN-1 оЕ
(78.3)
дК дК дК
р{ _ - , ..., pN-i - ------------, pN - --. (78.4)
0<7i dqN-1 dqN
Первые TV -1 уравнений (78.3) определяют кривую в пространстве Q, а
последнее - время t. Величина Н имеет постоянное значение в течение,
движения (это - следствие условия dHldt - 0) и это постоянное значение
равно Е.
256 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. 11
Уравнение Гамильтона - Якоби (78.2) иногда можно решить с помощью метода
разделения переменных. Пусть Н- функция вида
Я'") = ГТт'г:ТГ' <78-5>
Я i + Л 2 + ... + An
где Н1, А1 - зависят только от переменных qlt рр, Н2, А2 зависят только
от q2, р2 и т. д. Тогда уравнение (78.2) можно написать в форме
Di +D2 + . . . +Dn = 0, (78.6)
где
Di = Hl {Яи If) ~EAi (Яи If) ' (78'?)
D2, . . ., имеют аналогичные выражения. Уравнение
(78.6) будет удовлетворено, если положить
К = Ki(qi, ai, Е) -\~ K2(q2, а2, ?)-)-...-)-
-\- KN(qN, aN, Е). (78.8)
Потребуем при этом, чтобы Ki, К2, . . ., KN удовлетворяли уравнениям вида
Hi ( Яи - ЕА1 ( qи j = в1, (78.9)
где величины aj, а2, . . aN - произвольные постоян-
ные, связанные единственным условием
(r)i "Ь (r)2 "Ь < • • "Ь = 0, (78.10)
