Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда элемент гамильтонова действия можно представить в виде
dAH - yr dxr = yTx'r du - Л (х, х') du, (69.12)
но это - элемент лагранжева действия для однородного лагранжиана А(х, х')
того же вида, что и (64.8) (об однородности Л см. ниже).
Объединяя все эти уравнения, можем сказать, что из уравнений
х' - ф , Л = yrx'T, Q (х, у) = 0 (69.13)
дополучено однозначное соответствие
Q(x, у) = 0 -> А(х, х') (69.14)
исключением И и уг и выражением Л через оставшиеся переменные. Что
касается однородности, то если эти
(69.10)
§ 701
ПРИМЕРЫ СООТВЕТСТВИЙ
уравнения выполняются при некоторых значениях (Л, х'г, й), то они
выполняются также и при значениях (кА, kx'r, Агд) для любого к. Это и
означает, что функция А(х, х') - однородная первой степени, но не
обязательно положительно однородная. Однако функция Л может иметь
несколько ветвей; умножение на отрицательное к может привести к переходу
с одной ветви на другую. Иллюстрацией может служить пример § 70. В § 64
требуется только положительная однородность.
Аналогично однозначное соответствие
благодаря которому, мы переходим от заданного гамильтониана к
эквивалентному лагранжиану, можно получить из уравнений
Мы установили, по существу, эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой
динамики. Соответствия между ними иллюстрируются в § 70, а их
геометрическая сущность рассматривается в § 71.
§ 70. Примеры соответствий лагранжевой и гамильтоновой динамик.
Рассмотрим вновь системы PC и ОДС
и исключение х'г дает уравнение энергии в следующем виде:
H{q, t, р) -> L{q, t, q),
(69.15)
Яр = - . L= ЯрРр - н. др р
(69.16)
Для этого надо исключить рр и выразить L в виде L(q, t, q).
(§ 66).
В PC мы исходим из лагранжиана
А (х, х') = 1 bTSx'Tx's -j- Атх'т. Тогда уравнение (69.3) выглядит так:
(70.1)
(70.2)
И (х, у) е= I \Ьп (ijr - A,) (ys - As) - 1] = 0, (70.3)
230 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. II
-1
где brsbrm = 6'n; множитель у введен для удобства записи.
Если исходить из уравнения энергии (70.3) и пытаться вывести из него
функцию Л, то надо записать уравнения
(69.14), которые в данном случае принимают следующий вид:
Хг = (r)brs (ys - As), А = yrx'r, П (х, у) = 0. (70.4)
Отсюда следуют уравнения
у г - Ат = $~%rsxa', I
2Q = $~2brsx;xs' -1=0, | (70.5)
0 = е V brsx' х' , j
где 8 = ±1 (все квадратные корни берутся положи-
тельными). Поэтому имеют место уравнения
уг = Аг + --1^- , (70.6)
Л/ h х' х'
f umnu'mu'n
и мы получаем два лагранжиана:
А(х, х ) Агхг -{- brsxr xs ,
А_ (х, х') = Агх,'.- VbrsXr x's .
При к > 0 имеем тогда условие однородности Л+ (х, кх') = кА+ (х, х'),
Л_ (х, кх') - кЛ_ (х, х'),
(70.8)
а при к < 0 оно принимает вид
Л+ (х, кх') = кА- (х, х'), Л_ (х, кх') = АЛ + (х, х').
(70.9)
Таким образом, уравнение энергии (70.3) дает два лагранжиана; оба они
положительно однородные первой степени, но не однородные в общем случае,
так как в случае отрицательного множителя к в (70.9) возможен переход с
одной ветви функции на другую.
(70.7)
§71.| ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 231
В ОДС мы начинаем рассуждения с обычного лагранжиана
L (Я, Я) = ^ ЧаЯрЯа - У• (70.10)
Затем вследствие уравнения (69.8) получаем соотношения dL
Рр ~ ¦-Т" = ^раЯа' Яр ~ & Ра' (lO.ll) дд0
и гамильтониан равен
1
2
Н (q, р) = qpPl, -L = - a9aPl,pB + V. (70. 2)
Если исходить от этого гамильтониана, то имеют место уравнения вида
(69.16)
дН
Яр = (r) Ра' Рр = &роЯо' (/0.13)
дРр
и мы получаем из них соотношение
1
L (Я' я) = ЯрРр - Н = ~2 араЯрЯа - V, (/0.14)
придя, таким образом, вновь к лагранжиану (70.10).
§ 71. Теорема взаимности. Соотношение между лагранжевой и гамильтоновой
динамикой! становится ясным, если подойти к этому вопросу с
геометрической точки зрения С)
Пусть Л (х, х') - однородный лагранжиан и пусть й(ж, у) = 0 -
соответствующее уравнение энергии, полученное исключением отношений х[ :
х'2 : : x'x + i из
уравнений
д\ ..
Уг = ~. (71.1)
дхг
• 9 Ср. II а (1 a m а г d J., Logons sur le caleul des variations, т. 1,
стр. 75, 76, 96, 97 (Paris; Hermann, 1910); Caratheodo-r у С.,
Variationsrechuuug und partiello Differentialgleichungen crster Ordnung,
стр. 243-248 (Leipzig, Berlin, Teubner, 1935). Kapa-теодори называет
индикатрисой, a Sjj - фиеуратрисой.
232 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (ОТ) [ГЛ. II
Рассмотрим пространство ZN + i, касательное к пространству QT в точке хг.
В пространстве ZN + l определена евклидова метрика и прямоугольные
декартовы координаты zr. Проведем в пространстве ZN + l сферу единичного
радиуса
S: zrzr - 1. (71.2)
Рассмотрим две TV-мерные поверхности, уравнения которых
SL: А (х, z) - I - О,
SH: Q (х, z) - 0. J (7L3)
Здесь z,. - текущие координаты; величины хг - обычные постоянные, так как
наша геометрия осуществляется в касательном пространстве .ZN + t. Будем
называть SL - поверхностью лагранжиана, a Sд - поверхностью
гамильтониана.
Полярная плоскость для любой точки z* относительно S имеет уравнение
zrzr - 1, (71.4)
а поверхность, взаимно полярная к поверхности S L относительно S,
