Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(74.3).
В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или
неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой
метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и
подпространства неинвариантно относительно преобразований координат.
Однако это возражение не относится к вектору импульса - энергии уг, так
как это - ковариантный
*) О волнах в пространстве конфигураций Q см. § 81.
2) На языке вариационного исчисления это - трансверсали, лучи или
траектории - экстремали уравнений. Условие когерентности называется
условием Майера: можно рассматривать его как условие отсутствия вихрей в
гидродинамике, ср. Einstein А., Sitzsber. preuss. Akad. Wiss. phys.-math.
KI. 46, 606-608 (1917). Каратеодори (цит. выше в § 71, стр. 249) называет
семейство экстремалей и волн vollstandige Fignr.
U (В) = const.
(75.1)
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. 11
вектор (чтобы уг dxT было инвариантом, нужно сделать dx,
контравариантным). Вектор ут действительно ортогонален к поверхностям в
том смысле, что выполняется соотношение
Ут Ьхт = 0 (75.2)
для каждого бесконечно малого смещения Ьхт вдоль т. Этот вывод следует из
определения (74.5), так как U равно нулю при таких перемещениях.
к *
Рис. 35. Лучи или тра- Рис. 36. Построение Гюм-ектории в QT, Пересе-
генса в пространстве QT. кающие волны И7*, W.
Волну W можно получить из волны В7* построением Гюйгенса (рис. 36). Из
точки В* проводим лучи во всех направлениях в пространстве и определяем
вдоль них величину действия следующим образом:
А = U{W) - U(W*), (75.3)
где U(W) и U(W*) - значения U на двух волнах. Таким образом, мы получим
TV-мерное пространство (назовем его Fn), уравнение которого имеет вид
S(x*, х) = А, (75.4)
где S - двухточечная характеристическая функция. Пространство Идг, таким
образом, само является волной,
s 7f>| ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛН ПО НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ 247
а точка В* - ее источником. В формуле (75.4) величины х* фиксированы
(координаты точки В*), а величины х - текущие координаты поверхности VN.
Покажем, что VN касается W в точке В, в которой луч Г, идущий из точки
В*, пересекает волну W.
Во-первых, точка В должна лежать на Fw, потому что эта точка входит в
класс всех точек, лежащих на расстоянии-действии А от точки В*. Кроме
того, если мы придаем точке В некоторое бесконечно малое перемещение
6хг,. переводящее ее в соседнее положение В' на волне W, то действие
вдоль луча, соединяющего точки В* и В', превосходит А на величину угЬхт
(ср. (72.5)). Эта разность обращается в нуль согласно условию (75.2).
Таким образом, с точностью до членов первого порядка В' лежит на VN1 а
это и доказывает, что волны VN и W касаются в точке В. Ясно затем, что в
пространстве R когерентной системы W есть огибающая семейства ^-мерных
пространств (75.4); при этом значение А остается постоянным, а точка В*
находится на поверхности начальной волны W*. Так как эти iV-пространства
сами являются волнами, исходящими из источников на W*, то имеем
построение Гюйгенса.
Можно, конечно, рассматривать возникновение одной волны из другой, как
если бы имели место бесконечно малые приращения (тем самым А было бы
бесконечно малым). Считая все величины конечными или бесконечно малыми,
мы имеем 'контактное преобразование, которое устанавливает соответствие
между точками и касательными элементами, в этих точках двух волновых
поверхностей. Касательный элемент здесь означает совокупность бесконечно
малых векторов 6хг, удовлетворяющих условию
(75.2) для данных уг.
§ 76. Определение волн по начальным данным. Метод характеристических
кривых1). В предыдущих параграфах область, заполненная когерентной
системой лучей, была
9 Ср. Caratlieodory, op. cit., § 71, гл. 3, а также Т. Levi-Civita,
Caratteristielie dei sistemi differential! e propagazione ondoza
(Bologna: Zaniclielli, 1931), или, в переводе на французский язык, Сага-
eteristiques des systcmes diff4rentiels et propagation des ondes (Paris,
Alcan, 1932).
248
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. П
подпространством R пространства QT, или, может быть, самим пространством
QT. Предположим теперь, что лучи заполняют QT или часть его, так что они
образуют конгруэнцию. Попытаемся определить волны при соответствующих
начальных данных. Мы хотим, таким образом, ра решить дифференциальное
уравнение в частных производных для функции U
Q(x,y) = О, УГ = 9^-, (76.1)
ахг
с начальными условиями U = U0 в подпространстве пространства QT (вообще
говоря, С/0, конечно, не постоянная); размерность М может быть любым
числом от нуля (одна точка) до N1). Волны будут тогда иметь уравнения U =
const, a U будет одноточечной характеристической функцией когерентной
системы лучей или траекторий, удовлетворяющих указанным начальным
условиям.
Это так называемый метод характеристических кривых, которые в каждый
данный момент являются лучами или траекториями. Пишем обыкновенные
дифференциальные уравнения
dx 1 _ _ dxN + i _ dy{ _ dyN+l
