Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 69

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 124 >> Следующая

соединяющие их, определяются следующими уравнениями:
где переменные X - текущие координаты луча.
Однако важнее всего, по-видимому, отметить, что если мы исходим из
уравнения энергии и выводим двухточечную характеристическую функцию (либо
наоборот), то уравнения
являются уравнениями луча в конечной точке траектории, проходящей через
начальную точку х* с начальным импульсом - энергией у*, совместным,
конечно, с уравнением й*(я*, у*) = 0; в уравнениях (73.7) переменные х
означают текущие координаты.
§ 74. Когерентные системы лучей или траекторий. Одноточечная
характеристическая функция. Предположим, что имеет место уравнение
энергии
и введем только одну систему координат - и для начальной и для конечной
точек. Лучи или траектории удовлетворяют уравнениям
OS (**, X) OS (X, х) дХт дХ
дХ
(73.fi)
0S (х*, х)
Уг* --------------
дхр
(73.7)
й (х, у) = 0
(74.1)
dxT _ Эй dyT _ Эй
(74.2)
dw дут ' dw дхт
Рассмотрим систему лучей (рис. 34), образующих подпространство R в
пространстве QT, или, может быть,
§ 74] КОГЕРЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ЛУЧЕЙ ИЛИ ТРАЕКТОРИЙ 243
заполняющих все QT (в этом случае R совпадает с QT). Первая группа
уравнений из (74.2) сопоставляет каждой точке в R вектор уг. Можно дать
эквивалентное и более явное выражение уг через однородный лагранжиан
Ут
дА (х, х') дх'г
(74.3)
Мы говорим, что система лучей или траекторий образует когерентную
систему1), если для каждого стягиваемого в точку контура в
подпространстве R имеет место условие
Уг dxT = 0. (74.4)
В частности, легко увидеть из
(72.5), что система лучей или траекторий, проведенных из данной точки,
образует в пространстве QT когерентную систему.
Пусть имеется когерентная система; выберем какую-нибудь точку Rw б R и
пусть R - любая другая точка R. Соединим точки Rm) и R кривой С и
обозначим
U (Щ = (j уТ dxT(74.5)
где интеграл борется по кривой С. Мы опускаем запись нижнего предела
5<0), так как точку Rw мы раз и навсегда считаем фиксированной. Заметим,
что в выражении
(74.5) уГ не является естественным вектором импульса - энергии,
соотнесенным С (ср. с (69.10)); это - вектор
когерентная система лучей или траенторий
Рис. 34. Одноточечная характеристическая функция
U (В)
-S
У Г dxr.
1) Или семейство: ср. D i г a k Р. А. М., Canad. J. Math. 3, 1-23 (1951),
который вамечает, что, "по-видимому, это семейство имеет в природе весьма
глубокое значение, до сих пор еще недостаточно понятое".
16*
Z44
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
1ГЛ. I I
поля, заданного уравнениями (73.4), для когерентной системы. Согласно
условию (74.4) интеграл (74.5) имеет одно и то же значение для всех
совместимых контуров в R. Это означает, что если R - односвязиое
пространство, то U - однозначная функция тех координат, которые
определяют положение точки R. Если R - многосвязно, то U - многозначная
функция. Пусть Сlt С2,- ¦ . . . ., Ст- полная система независимых
неприводимых контуров. Тогда две любые кривые, проходящие через точку
В(а), различаются числом контуров, которые они охватывают; имеем, таким
образом,
U (В) = Uo(B) + niJi + n2J 2 + ¦ • • + nmJm, (74.6)
и U0(B) - какое-либо значение функции (74.5), а
Ji. = § Ут dxr, • • •> Jm= Ут dxr, (74.7)
Ci Cm
и пи пгч • • ч ft т. - целые числа, положительные, отри-цательные или
равные нулю1).
Если лучи или траектории заполняют пространство QT (образуя конгруэнцию
кривых), то в уравнении (74.5) координатам точки В (назовем их хТ) можно
придавать произвольные вариации. Тогда
* - . (74-8)
дхт
или, что то же самое,
^ _dU(q,t) dU (q, t)
Рр ---------- , - H =-----------------, (74.9)
dqp dt
и поэтому, согласно уравнению (74.1), U удовлетворяет уравнению
Гамильтона - Якоби
и -^г) = °* (74Л°)
1) Тот факт, что U (В) - многозначная функция, если R многосвязно,
внутренне связан с правилами квантования; ср. Einstein A., Verb, dtsch.
phys. Ges. 19, 82-92 (l917); Synge J. L., Phys. Rev. 89, 4C7-471 (1953).
Gm. также § 98, 99, где функции J - переменные действия.
751
ВОЛНЫ ПОСТОЯННОГО ДЕЙСТВИЯ
245
или в несимметричной форме
= 0.
(74.11)
Назовем U(B) - одноточечной характеристической функцией когерентной
системы лучей или траекторий. Правда, она зависит от точки В(0\ но это
тривиальная зависимость - изменение точки Вт - самое большее добавляет
постоянную к U(B).
§ 75. Волны постоянного действия (лагранжева или гамильтонова)Д.
Построение Гюйгенса. Определим волны постоянного действия (лагранжева или
гамильтонова; в обоих случаях они одни и те же) для когерентной системы
лучей или траекторий, введенной в § 74, следующим условием2) :
Лучи пересекают волны, как показано на рис. 35, на котором изображены
волны W*, W с точками В*, В на них; кривая, соединяющая эти точки, и есть
луч Г. Действие вдоль этого луча равно действию вдоль любого другого
пути, проведенного от W* к W, и равно интегралу
^ уг dxr , взятому по произвольной кривой в R, проведенной от W* к W\
вектор уг принадлежит полю, определенному когерентной системой уравнений
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed