Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 64

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 124 >> Следующая

представляют собой, очевидно, систему 2N уравнений первого порядка, в то
время как в (68.7), очевидно, систему 2N + 2 уравнений. Число уравнений
последней системы можно уменьшить до 2N + 1, разделив все уравнения на
dxN+i/dw, так что xN+i (т. е. время) становится независимой переменной; а
уравнение энергии Q(z, у) = 0 делает возможным дальнейшее уменьшение
числа уравнений до 2N. Мы вернемся к этому вопросу в § 91.
Сравнивая (68.7) и (68.16), видим, что в //-динамике специальным
параметром го является время t. В ?2-дина-мике го не имеет простого
физического смысла, но если с помощью уравнения ?2(дц у) = 0 превратить
функцию ?2 + 1 в однородную функцию первой степени относительно г/г, так
что будут иметь место уравнения
Уг = ~ = Уг - (G + 1) = ?2 + 1 = 1, (68.18)
дуг дуГ
f5 Д;к. Л. Синг
так же как следствие
dll _ дН dt dt
22G
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
то из (68.9) следует, что w есть гамильтоново действие Ал.
В своих оптических исследованиях Гамильтон использует эту операцию как
стандартный прием. Однако в этой книге мы не будем прибегать к нему,
потому что более удобным оказывается не подчинять форму функции Q(x, у)
никаким ограничениям.
§ 69. Эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Под
лагранжевой динамикой мы понимаем теорию, изложенную в § 64 и 65,
основанную на однородном лагранжиане Л(х, х') или на обычном лагранжиане
L (q, t, q), под гамильтоновой динамикой - теорию, развитую в § 67 и 68,
основанную на уравнении энергии Q(x, у) = 0 или гамильтониане H(q, t, р).
Мы покажем, что эти две динамики, по существу говоря, эквивалентны, хотя
гамильтонова динамика является несколько более общей в том, что касается
определения вектора импульса - энергии.
Мы покажем эту эквивалентность, установив соответствие
Л(.г, *')+- й(*, у) = 0 (69.1)
или, что то же самое,
L (?> t, q) H (q, t, p). (69.2)
После того как это сделано, безразлично, излагать ли динамику в терминах
Л или L или положить в основу уравнение Q = О или Н. Соответствие
устанавливается требованием равенства лагранжева и гамильтонова действий
для произвольной кривой в пространстве QT.
Будем считать, что задан однородный лагранжиан Л (х, х') и определим уГ
следующим образом:
Уг = ^г- (69.3)
дхТ
Эти частные производные - однородные функции нулевой степени относительно
производных х'г, поэтому содержат только N отношений х[ : х\ : . . . :
x'w+ii и> конечно, координаты х'. Исключение этих отношений из Лг -' -1
s G9] ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА 227
уравнений (69,3) дает уравнение, которое мы запишем ') в виде
Q (х, у) = 0. (69.4)
Тогда вдоль любой кривой с параметром и и с уравнением х'г = dxTldu
элемент лагранжева действия согласно (64.8) выражается так:
dAh = Л (ж, х') du - Xr ¦^7 du = ут dxr. (69.5)
дх'г
Согласно определению (69.1) это - элемент гамильтонова действия dAii,
соответствующий уравнению энергии
(69.4). Действительно, dAa является более общей функцией, чем dAL потому,
что вектор импульса - энергии, входящий в него, ограничен только
уравнением энергии
(69.4), тогда как тот же вектор в dAL точно определяется для каждой
кривой посредством уравнения (69.3). Однако если мы варьируем гамильтонов
луч или траекторию, закрепив концы, то бАн = 0 для всех вариаций бут,
совместных с уравнениек О = 0, и поэтому, в частности, для бут,
совместных с условием (69.3). Таким образом, уравнение бДя = 0 содержит в
себе 6АЬ = 0, и это означает, что лагранжевы лучи совпадают с
гамильтоновыми лучами.
Эти рассуждения устанавливают однозначное соответствие
Л(ж, х') -> й(ж, у) = 0. (69.6)
Если задан однородный лагранжиан, то уравнение энергии получается
исключением х'г из уравнений (69.3), как это описано выше. Эквивалентное
однозначное соответствие
L{q, t, q)->H(q, t, p) (69.7)
можно получить непосредственно из N + 1 уравнений
Рр = H='qp^-L, (69.8)
dqp dqp
9 Мы предполагаем здесь, что в результате этого исключения получается
только одно уравнение, но их может быть и больше. Ср. П. Д и р а к,
Обобщенная гамильтонова динамика, в сб. Вариационные принципы механики,
стр. 705-722.
15*
22S
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ QT)
Uvi. и
исключив N величин qp и выразив Н как функцию H(q, t, р).
Будем исходить теперь из гамильтоновой динамики, записав уравнение
энергии в общем виде:
Q (х, у) = 0. (69.9)
На произвольной кривой в пространстве QT, уравнениями KOTopoii являются
хт = хг (и), вектор импульса - энергии ут можно считать произвольным, за
исключением только одного условия: он должен удовлетворять уравнению!
энергии. Ограничим теперь класс допустимых векторов требованием, чтобы
они удовлетворяли уравнениям
du дуг
где й - неопределенный множитель. Будем называть такие ут естественными.
Эти уравнения, очевидно, совпадают с одной группой уравнений движения
(68.7). Разрешив N + 2 уравнений (69.9) и (69.10) и выразив,
следовательно, уТ и Ф как функции хг и их производных x'r-dxTldu,
определим функцию Л следующим образом:
А(х, х') = утх'т. (69.11)
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed