Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
бы путаницу. Мы будем употреблять здесь слово "характеристическая", а
термин "главная" считать эквивалентным понятием. К сожалешда, существует
еще третий термин "эйконал", введенный в 1895 г. Брунсом, который вновь
открыл гамильтонов оптический метод в несколько специализированной форме;
см. Hamilton W. R., Mathematical Papers, т. 1, стр. 488, Cambridge,
University, Press, 1931. Наименование "эйконал" проникло и в динамику,
см. Nordheim and Fues [19], стр. 127; Голдстейн [7], стр. 333.
2) В § 74 будет введена одноточечная характеристическая функция, а в § 79
- характеристическая функция в пространство импульса-энергии и смешанная
характеристическая функция.
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
I ГЛ. I г
и х,.. Напишем ее в виде
S (В\ В) = S (х*, х) = S (х\, ..., х'к + и хи ..., xN + i) ==--
в в
= ^ А ( г, х') du={yr dxr, (72. i)
В* 11*
или
в в
5 (В*, B)-\^L (q, t, q) dt = ^ (/)p c?ryp - H dt). (72.2)
В* Б*
Необходимо сделать несколько замечаний относительно характеристической
функции:
I) Координатная система для точки В* не должна быть той же самой, что и
для точки В. Может существовать область, где они частично перекрываются
(ср. § 63). Даже если это не имеет места, мы можем для общности
преобразовать координаты для точки В*, а возможно, и для В, но произвести
эти преобразования независимо друг от друга. Тогда существует различие
между обозначениями S (В*, В) я S (х*, х), ибо первое указывает только на
то, что S - функция двух точек (число, определяемое этими двумя точками,
не зависит от используемой при этом системы координат), в то время как
второе предполагает определенную форму функциональной зависимости. Эта
форма изменяется при преобразовании координат. Функция S есть инвариант
(в смысле тензорного исчисления) относительно независимых преобразований
двух координатных систем.
II) Строго говоря, переход от (72.1) к (72.2) возможен при условии, что t
монотонно возрастает при движении от В* к В. Можно поэтому предпочесть
более общую форму (72.1) в случае, когда мы хотим рассматривать систему,
"движущуюся обратно во времени", или в случае (при некоторых приложениях
общей теории), когда переменная t соответствует не физическому понятию
времени, а чему-то отличному от него.
III) Вообще говоря, не существует связи между S(B*, В) и S(B, В*), та к
как требуется только положительная однородность функции А(х, х'). Но если
мы решим, что точки В* и В будут появляться в наших рас-
$ 721 ГАМИЛЬТОНОВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 237
суждениях только в одном порядке, насколько это допускается определением
(72.1) (может быть, в порядке возрастания t), то мы вольны определить
функцию S(B*,B), как это потребуется; обычно удобно определить ее так,
чтобы выполнялось условие
S (В, В') = - S {В*, В). (72.3)
IV) Если точка В совпадает с В*, то по крайней мере одно значение
функции S(B*: В) обращается в нуль. Но это условие не заключает в себе
обязательно S(x, х) = О, потому что, возможно, для точек В* и В
используются различные координатные системы.
Принимая во внимание сказанное в пункте (I), целесообразно будет ввести
различные обозначения для лагранжианов в точках В* и В, а также для
соответствующих уравнений энергии:
Л* (х*, х"'), Л (х, х'), й* (х% у*)- О, й (х, у) - 0. (72.4)
Мы будем рассматривать В* как начальную точку, а В - как конечную.
Для того чтобы определить, как изменяется S(B*, В) с изменением концевых
точек, обратимся к выражению
(68.2); отбрасывая входящий в него интеграл, так как мы имеем дело с
лучом, получаем выражение
bS = yrbxr - г/*Ьх*. (72.5)
Если вариации Ьхг, Ьх* произвольны и независимы1), то получаем систему
dS , дА dS дА*
- = Уг =-т . - = - Уг = Г • (72.6)
дхг дхг Qxr дх?
Согласно уравнению энергии (72.4) функция S(х*, х) удовлетворяет
следующим двум уравнениям в частных
1) Тем самым мы требуем существование лучей или траекторий, соединяющих
любую точку в окрестности В* с любой точкой в окрестности В. В
исключительных случаях, когда В* и В - фокусы (или сопряженные точки),
это требование не выполняется, и уравнения (72.6) не имеют места.
238
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
(ГЛ. тт
производных:
q(Xj Q* (х\ - -) = 0. (72.7)
\ дх 1 \ дх* I
Первое уравнение в более подробной записи имеет вид Q 1хи xNlu
~........................................= 0. (72.8)
\ dxi dxN + 1/
Это - гамильтоновы уравнения в частных производных; уравнение (72.8)
называется уравнением Гамильтона - Якоби1).
Если зафиксирован луч и точка В на нем, а точка В* скользит по лучу, то
значение уг (импульс - энергия в точке В) остается неизменным. Поэтому из
первого уравнения системы (72.6) следует
о2 о
-- Дя-" = о, (72.9)
дх,. дх*3
и поэтому характеристическая функция удовлетворяет (N + 1) X (TV- -- 1)
детерминантному уравнению
о2 о
del = 0. (72.10)
дхТ дх3
Переведем этот вывод на язык других обозначений, положив
Хр = (Jp, ?jv_|-i = t,
Ур ~ Ppl Vn + 1 = Н;
Согласно (72.5) имеем
S.S = рр bqp - Н bt - р*р bq'p + В* bt , (72.12)
