Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 74

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 124 >> Следующая

энергии (79.3) и вариационном уравнении (79.8), так же как динамика в
пространстве QT основана на том же уравнении энергии и на принципе
Гамильтона (68.5), т. е. на уравнении
6А = б J yrdxr = 0 (79.10)
при закрепленных концевых точках в пространстве QT. Два действия связаны
соотношением
А + А = ^ yr dxr + ^ хг dyT = хтут - х* у;, (79.11)
где (х*, у*) относятся к начальной точке, а (х, у) - к конечной. В
пространстве QT мы считаем хт текущими координатами некоторой кривой, а
ут - соотнесенным этой кривой векторным полем; в пространстве PH они
меняются ролями. Между двумя этими представлениями существует формальное
сходство. Мы могли бы, например,
262 ПРОСТРАНСТВО ИМПУЛЬСА-ЭНЕРГИИ (PH) [ГЛ. III
использовать приемы § 69 для того, чтобы определить "однородный
лагранжиан" в PH как функцию величин у и у' (где у'т = dyr/du и перейти к
"обыкновенному лагранжиану", т. е. к функции переменных рр, Н и dpp/dH.
Введем теперь в PH характеристическую функцию в пространстве импульса -
энергии1) W (С*, С), определенную следующим образом:
интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки С* и С
пространства PH. Варьируя эти концевые точки, получаем из уравнения
(79.7)
Если вариации буг и Ьу* можно взять произвольными (т. е. если существуют
лучи, соединяющие произвольно варьируемые точки С* и С), то справедливы
уравнения
и отсюда, согласно уравнению (79.3), W(y*, у) удовлетворяет
дифференциальным уравнениям в частных производных
Значения х* и хг определяют луч или траекторию, а поэтому они определяют
и у*, и уг; наоборот, значения у* и уг, вообще говоря, определяют луч или
траекторию, а отсюда и х*, и хг. Соотношение между двухточечной
характеристической функцией S(x*, х) и характеристической функцией
импульса - энергии W(y*, у) выра-
х) В оптике это - гамильтонова Г-функция, известная также под названием
угловой характеристической функции и углового эйконала. Она является
основой теории аберрации оптических инструментов. Здесь она обозначена
через W для того, чтобы не спутать ее с кинетической энергией.
(79.12)
6JE = х,. Ьуг - х*Ьу*.
(79.13)
6W
dW
(79.14)
дуг
(79.15)
§ 80]
СТОЛКНОВЕНИЯ
263
жается следующим уравнением:
W (у*, у) + S (х% х) = хгуг - х; у;. (79.16)
Кроме этих двух характеристических функций, существуют еще две смешанные
характеристические функции •
F {х\ у) = S (х% х) - хгуг, (79.17)
G (х, у*) = S (х% х) + х; у;. (79.18)
Если допустимы произвольные вариации, то имеем
уравнения
^ ^~=-хг, (79.19)
дхг дуг
и
dG dG t п n
Уг1 ~ , (79.20)
дхг ду'г
§ 80. Столкновения. Следуя (79.13), предполагалось, что точкам С* и С
можно придавать произвольные смещения Ьу* и Ьуг в пространстве PH, однако
существуют важные частные случаи, в которых этого нельзя делать.
Рассмотрим в пространстве QT луч или траекторию Г, соединяющую точки В* и
В (рис. 38). Предполагаем, что в области M*?QT, содержащей точку В*,
функция Q(x, у) не зависит от первой группы аргументов, т. е. от х, и что
то же имеет место в области М, содержащей точку В. Напишем затем
уравнение энергии
Q'(^) = 0 в М\ Q (у) = 0 в М. (80.1)
Согласно (79.9) все у постоянны вдоль луча в области М* или в М;
действительно, луч есть прямая линия в каждой из этих областей
пространства QT. Тогда из уравнений (80.1) ясно, что переменным у* и уг
нельзя придавать произвольные вариации.
Решая уравнения (80.1), получаем
y*N +1 - - (Уи • • ч У*и)-> Уи + 1 = (r) {Уь • • ч Уи)
(80.2)
264 ПРОСТРАНСТВО ИМПУЛЬСА-ЭНЕРГИИ (PH) [ГЛ. ш
или, соответственно,
#*= н*(р*),
Н = Н(р).
(80.3)
В самом деле, мы рассматриваем систему, для которой в начальной и
конечной точках гамильтонова функция
зависит только от импульсов, как это, например, имеет место в случае
свободной частицы или системы свободных частиц, 'не
С
Рис. 38. Луч или траектория в пространстве событий QT с прямолинейными
начальными и конечными участками.
Рис. 39. Столкновение, рассматриваемое в пространстве PH. В начале мы
имеем фиксированную точку С*, а в конце - фиксированную точку С.
взаимодействующих друг с другом. Уравнение (79.13) дает затем следующее
выражение:
6W = - xN + i дур - ^агр - a:*w+i -0-j б г/* ,
(80.4)
которое показывает, что W зависит только от 2N величин ур, ур. В других
обозначениях уравнение (80.4) имеет вид
bw = (?р - t?Lj Ьрр - - *• (80.5)
§ 801
СТОЛКНОВЕНИЯ
265
т. е. W - функция только импульсов рр, рр. При таких обстоятельствах W
должна рассматриваться как произвольная функция своих 2N аргументов, и не
требуется, чтобы она удовлетворяла какому бы то ни было дифференциальному
уравнению в частных производных вида
(79.15). Так как переменным рр, Рр можно придавать произвольные
независимые вариации, то уравнение (80.5) дает следующую систему:
Если считать функцию W заданной, то эти уравнения определяют начальный и
конечный луч или траекторию; импульсы рр, рр имеют постоянные значения
вследствие канонических уравнений (79.9). Когда мы рассматриваем задачу в
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed