Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантна относительно группы S. В таком случае при некоторых
естественных дополнительных предположениях группа S действует и на
множестве предельных распределений Гиббса. Таким образом, все мно-
§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 21
жество предельных распределений Гиббса распадается на орбиты группы S.
Периодические граничные условия. Во многих задачах часто возникает
потребность рассматривать распределения Гиббса с периодическими
граничными условиями. Покажем, как строятся такие распределения. Возьмем
d-мерный прямоугольник F, одной из вершин которого служит точка 0 = (0,
..., 0) решетки- Тогда V можно рассматривать как фундаментальный
прямоугольник некоторой подгруппы Zq a Zd конечного индекса. Рассмотрим
периодические конфигурации Ф = {ф(я), х ^Zd) с периодом V. Для этих
конфигураций Т1 ф = ф для любого iteZo. Потенциал Е/(ф(#); ф(у), У я) в
случае Zq-периодической конфигурации ф будет Zq -периодической функцией
на решетке. Распределением Гиббса в объеме V с периодическими граничными
условиями называется распределение вероятностей на пространстве Zq -
периодических конфигураций, для которого плотность по мере П cfy(<p(s))
s<EV
равна
Н-1 ехр U (ф (ж); ф (у), у ф ж)|,
Н - нормирующий множитель:
В = f expf- Ц !7(ф (ж); ф (г/), у ф ж)}П dx(Ф (s))-
0 [ 5сеу ) sey
Предполагается, что S < оо.
Свободные граничные условия. Часто рассматриваются также распределения
Гиббса в объеме V при так называемых свободных граничных условиях. Под
этим подразумеваются распределения вероятностей на пространствах ?2 (ТО,
плотность которых по мере XI d% (ф (s)) имеет вид Е-1 ехр {-#(ф(Г))}.
sev
Предельные распределения Гиббса строятся с помощью гамильтонианов или
порождающих их потенциалов. Таким образом, гамильтонианы естественно
рассматривать как параметры, задающие предельные распределения Гиббса.
Эти параметры достаточно про-
22 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. i
сты, и задача теории предельных гиббсовских распределений может быть
сформулирована как задача изучения свойств строящихся вероятностных
распределений как функций от гамильтонианов.
§ 4. Примеры
1. Цепи Маркова как предельные распределения Гиббса. Гамильтониан,
отвечающий цепи Маркова, был уже описан ранее. Возьмем в качестве меры %
меру Бернулли, при которой вероятность любого значения ф(я) равна 1 /г (г
- общее число состояний). Тогда стационарная цепь Маркова будет
предельным распределением Гиббса. Обычную эргодическую теорему Маркова
можно переформулировать так, что из нее будет следовать единственность
предельного распределения Гиббса в этом случае.
2. Системы с конечным радиусом взаимодействия как марковские поля с
многомерным временем. Если радиус взаимодействия гамильтониана И конечен
и Ф - конечное множество, то условные вероятности (1.2) определены всюду.
Формулы (1.2) показывают, что условная вероятность конфигурации ср(У)
зависит не от всей конфигурации cp(Zd - У), а лишь от конфигурации в Л-
окрестности границы, R - радиус взаимодействия. Таким образом, предельные
распределения Гиббса для таких гамильтонианов можно рассматривать как
марковские поля памяти R с многомерным временем. Теория таких полей при d
> 1 существенно отличается от теории при d = l, т. е. от теории сложных
цепей Маркова памяти R. В следующей главе будет показано, что при d > 1
во многих естественных случаях одному гамильтониану отвечает несколько
предельных распределений Гиббса.
3. Гауссовские стационарные поля как предельные распределения Гиббса.
Рассмотрим гауссовское стационарное случайное поле на d-мерной решетке
Zd. Пространство реализаций Q такого поля с принятой здесь точки зрения
состоит из бесконечных конфигураций ср = {ср(я), хей, где отдельная
переменная ф(ж) принимает произвольные действительные значения.
Гауссовское распределение вероятностей PG в Q - это
ПРИМЕРЫ
23
такое распределение, при котором любой набор {cp(#i), ..ф(?г)} подчинен
r-мерному гауссовскому распределению. Мы предположим, что Еу(х) = О,
Еу (х) ф (у) = Ъ (х - у) = J ехр {2ni (А,, х - у)} р (X) dX. Функция р(А)
есть спектральная плотность гауссовского распределения PG. Она
неотрицательна, и
J р (X) dX < оо.
Предположим, что 1/р(Я) - непрерывная функция на [0, 1] с абсолютно
сходящимся рядом Фурье, т. е.
р"ш ~ 2а №ехр 2я*
и
А= 2 I л (ж) | <; оо.
oc<EZd
Теорема 1.1. Гауссовское распределение Р0 является предельным
распределением Гиббса, отвечающим гамильтониану
н = а " У) ч" № (У). (1.4)
причем мерой % служит лебегова мера на прямой.
Доказательство. Фиксируем конечное подмножество V cz Zd и для каждого t е
Zd рассмотрим ряд ф (t) = 2 a{t -У) Ф (l/). Этот ряд сходится в
2/е z<*-y
j?2(?2, 0, PG), поскольку формальное выражение для EV (t) = 2 a (t -
j/x) a (t - г/2) Ь {уг - г/2)
г/1(г/2ег<*-у
конечно, так как
2 |"(< - Уг) "(* - V*) Ь (уг - у 2) |<
ylty2<=Z<*
<Ь( 0) 2 |в(*-"|)||а(*-У,)|<Ь(0)4*.
У1,У2е2<1
Следовательно, г|>(?) можно рассматривать как гауссовские случайные
