Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Предварительно заметим, что из слабой сходимости Рп к Р и из
непрерывности h вытекает, что
f h((f (х)) dP (ф)< К0 при любом x<^Zd. Поэтому среднее значение функции
У | с (х, г/) | Мф (у)) так-
y^Zd _
же конечно и, следовательно, с Р-вероятностью 1 ряд 2 с (х, у) h (ср (у))
абсолютно сходится. Отсюда вытекает, что для любого конечного V Р-
вероятность тех гра-
38
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
[ГЛ. 1
иичных условий cp(Zd - F), где 5 I с(х, У)\Щу (*/))<
y(EZd-V
< оо, равна 1. Покажем, что условное распределение на пространстве Q(F)
конфигураций cp(F) есть условное распределение Гиббса. В силу сказанного
выше достаточно ограничиться граничными условиями, для
которых ряды 21с У) I ^ (ф (у)) сходятся.
Далее, достаточно проверить это утверждение для одноточечных подмножеств
F. Это вытекает из следующего известного факта теории меры: пусть (М, @)
есть прямое произведение измеримых пространств
I
(Mi, (c)г), т. е. (М, @) = (r) (Mi, (c)i). Тогда всякая
г=1
вероятностная мера Р на М, абсолютно непрерывная
I
относительно произведения мер JJ d% (х{), однознач-
г==1
но определяется своими условными вероятностями Р(Лт\, m2, ..., /гг"-1,
nii+i, ..., 7ггп), заданными на (c)< при почти каждых (wii, т2, ..., /ггг-
1, /Гсг+ь • ••, тп), i = 1, 2, ..., I; rrii^Mi.
Фиксируем х е Zd, У с: Zd - .г, непрерывные ограниченные функции и, U,
определенные на Ф, ?2(F) соответственно. Достаточно показать, что
j и (ф (F)) и (ф (х)) dp (ф) =
= f U (Ф (V)) dP J и (ф (х)) р (ф (х) | ф (Zd - я)) d% (ф (х)).
Q
(1.12)
Для любого распределения Рп написанное равенство, очевидно, выполнено:
если F Fn, то
[ и (ф (7)) и (ф (х)) dPn (ф) =
= f U (Ф (7)) dPn (ф) J и (ф (х))р(ф(ж) | q>(Zd-x))d%(q(x)). b
(1.13)
Левая часть (1.13) при п-+°° сходится к левой части (1.12) по определению
слабой сходимости.
i 5) Предельные распределения гиббса 3§
Для исследования правой части (1.13) воспользуемся условием 3),
приведенным в формулировке теоремы, для функции и
I j " (ф (*)) р (ф(ж) I <р (zd - a:)) dx (ф (ж)) - /р (ф(И4)) | <
% d(p) (х, y)h((p(y)). (1.14)
уфХ
1'огда
j w (ф (•*)) Р (ф И I Ф (z<i - ж)) cfy (ф (")) =
= /р(Ф ТО)) + вР (ф), где | ер | ^ D{v) + 2 ^(Р) (я" У) h (ф (У))•
Подставляя это в (1.13), получим ]'с/(ф (У))и(ф(х))ЙРя(ф) =
= j и (ф (F)) (/р (ф (TFp)) + 8Р) dPn (ф). Перейдем в этом соотношении к
пределу при п J 0 (Ф) /р (Ф ТО)) ^ ~ D{p) (1 + Я0) max | U (Ф) | <
<j 17(Ф(Т))И(Ф(*))<№(Ф)<
< f U (Ф (V)) U (Ф (IF,,)) dP + D(p) (1 + К0) max [| V (Ф) ||.
Ф
Из (1.14) и из леммы следует, что /р при р °° сходится к j и (ф (я)) р (ф
(х) j ф (Zd - х)) d% (ф (ж)) в пространстве iZ'HQ, (c), Р). Поэтому в
последнем неравенстве мы можем устремить и получить (1.12).
Теорема доказана.
Замечания:
1. Если Ф -компакт, то можно положить /is0.
2. Если р(ф(л:)|ф(г4~а:)) определена всюду и есть непрерывная функция в
тихоновской топологии, то условие 3), приведенное в формулировке теоремы
Доб-рушина, выполнено с d{n)(x, у) s0.
3. Если гамильтониан Н трансляционно-инвариантен, то для всякого
предельного распределения Гиббса
40
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА (ГЛ. 1
Р его сдвиг (ТХ)*Р также будет предельным распределением Гиббса.
Описанную конструкцию нетрудно видоизменить так, чтобы Р было бы
трансляционно-инвариантным.
4. Методы доказательства существования предельных распределений Гиббса
дают возможность получить следующее "конструктивное" описание множества
G(H) предельных распределений Гиббса, отвечающих данному гамильтониану Н.
Пусть Gy (Н) есть множество конечных выпуклых линейных комбинаций
условных распределений Гиббса в конечном объеме V с различными граничными
условиями и GV(H) - замыкание Gy (Н) в пространстве распределений
вероятностей со слабой топологией. При некоторых естественных условиях
регулярности, заведомо выполненных в случае потенциалов с конечным
радиусом взаимодействия, G(H) имеет следующую структуру:
ai) Р ^ GUI) в том и только в том случае, когда можно найти возрастающую
последовательность объемов Vn ^ Zd и Рп ^ Gyn (Я), таких, что Vn °°, Р =
= ИтРп. Это утверждение показывает смысл названия "предельное
распределение Гиббса";
аг) G(H) есть непустое, выпуклое, компактное множество в пространстве
всех вероятностных распределений на й, и G(H) = ПGviH), где пересечение
берется по всем конечным Fc=Zd. Крайние точки G(H) называются
неразложимыми предельными распределениями Гиббса;
аз) P^GiH) неразложимо в том и только в том случае, когда Р регулярно, т.
е. для любого А е @ и любой последовательности Вп
lim\ Р (А() Вп)-Р {А) Р(Вп)\ = 0,
П->оо
где Вп принадлежит а-алгебре, порожденной случайными величинами ф(х),
x^Zd - Vn, Vn 00;
aj Различные крайние точки множества G(H) взаимно сингулярны, так что
G(Bf) есть симплекс Шоке.
При м е р. Существование предельного распределения Гиббса для решетчатых
моделей квантовой теории поля. В этих моделях Ф = Д1, а гамильтониан мы
за-
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
41
пишем в виде (см. § 4, пример 4):
