Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
рассчитанной или на специалистов в области статистической физики или на
тех, кто намерен ею непосредственно и всерьез заняться.
Книга состоит из четырех глав. В первой главе приведены определения
гамильтониана, его группы симметрии и предельного распределения Гиббса,
отвечающего данному гамильтониану. Изложение ведется для решетчатого
случая, поскольку только этот случай в дальнейшем в основном обсуждается.
Мы приводим различные примеры гамильтонианов: гамильтониан
модели Изинга, гамильтонианы с непрерывной симметрией, гамильтонианы
решетчатых моделей квантовой теории поля, гамильтонианы решетчатых полей
Янга - Миллса и т. п. Далее излагаются общие результаты о существовании
предельных распределений Гиббса. В качестве примера показывается
существование предельных распределений Гиббса для решетчатых моделей
квантовой теории поля.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во второй главе рассматриваются фазовые диаграммы решетчатых моделей при
низких температурах. Здесь вводятся понятия основного состояния
гамильтониана и устойчивости множества основных состояний. В случае
периодических конфигураций основные состояния можно определить как
конфигурации с наименьшей удельной энергией. Условие устойчивости
основных состояний, которое мы называем условием Пайерлса, состоит, грубо
говоря, в том, что разность энергий локального возмущения основного
состояния и самого основного состояния пропорциональна площади границы,
разделяющей области, занятые различными основными состояниями. В
предположении конечности числа периодических основных состояний и
выполнения условия Пайерлса доказывается общее утверждение, связывающее
структуру множества периодических предельных распределений Гиббса с
множеством основных состояний. Этот результат получен при помощи
обобщения так называемого контурного метода Пайерлса, предложенного им
для доказательства существования дальнего порядка в модели Изинга при
больших значениях параметра [5. Из педагогических соображений в начале
главы мы приводим отдельно доказательство для модели Изинга. В конце
главы обсуждается понятие основного состояния для двумерных моделей
квантовой теории поля. Несколько неожиданным оказывается, что когда
константа взаимодействия стремится к бесконечности, число основных
состояний не зависит от части гамильтониана, описывающей взаимодействие.
В третьей главе приводятся основные теоремы о фазовых переходах в
решетчатых моделях с непрерывной симметрией: в двумерном случае теорема
Добру-шина - Шлосмана о симметрии любого предельного распределения Гиббса
относительно группы симметрии гамильтониана, являющаяся естественным
обобщением теоремы Мермина - Вагнера, и теорема Саймона - Спенсера -
Фрелиха о наличии спонтанного нарушения непрерывной симметрии в моделях
размерности три и выше при больших (3. Перед доказательством этих теорем
дается эвристическое объяснение роли размерности в духе общей теории
Голдстоуна.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Четвертая глава посвящена фазовым переходам второго рода и связанной с
ними теории автомодельных распределений вероятностей. Подробно
обсуждаются иерархические модели Дайсона, на примере которых можно
проследить особенности основного метода теории - метода ренормгруппы.
Центральное понятие теории - понятие автомодельного распределения
вероятностей. Такие распределения важны потому, что они возникают как
предельные распределения для блок-спинов в критической точке.
Автомодельные распределения легко найти в классе гауссовских стационарных
распределений. Гораздо более трудным является вопрос о виде негауссовских
автомодельных распределений, которые встречаются в наиболее интересных
задачах. При построении таких распределений и, вообще, во всей теории
важную роль играет понятие линеаризованной ренормгруппы и ее спектра. Для
гауссовских автомодельных распределений спектр линеаризованной
ренормгруппы вычисляется в явном виде. Благодаря этому находятся значения
параметра, при котором в спектре появляется собственное значение, равное
1. В окрестности таких значений на основе теории бифуркаций строятся
формальные ряды типа хорошо известных е-разложений для негауссовских
автомодельных распределений.
В конце каждой главы приведена библиография вместе с небольшими
комментариями. Число работ, относящихся к математической теории фазовых
переходов в статистической механике и квантовой теории поля, составляет
уже несколько сотен. Приводимый нами список литературы заведомо неполон и
включает в себя только работы, так или иначе связанные с текстом.
При написании этой книги существенную помощь мне оказали мои коллеги из
Будапешта А. Крамли, П. Майер, Д. Сас и И. Фритц. Без их энтузиазма и
большого труда, который они вложили, эта книга не была бы написана.
Содержание книги я неоднократно и с большой пользой для себя обсуждал с
И. М. Лиф-шицем. P. JI. Добрушин прочитал рукопись и сделал много
полезных замечаний. Большую помощь оказали мои ученики П. М. Блехер, Е.
