Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 8

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 61 >> Следующая

величины, конечные с вероятностью 1. Заметим, что в гауссовском случае из
условия
24
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. i
2 \а {х) | < оо вытекает, что ряды, определяющие if>U), сходятся с
вероятностью 1.
Для предельного распределения Гиббса, отвечающего гамильтониану (1.4),
плотность условного распределения cp(F) при фиксированных ф(я), x^Zd- V
имеет вид
ехр | - 1. Г ^ а (х - у) ср (х) ф (у) + 2 ^ ф (х) я|) (х) \
I____I Х,?/?У____________________Xgy___________И __
S (ф) "
= const-ехр {- (В (ф + В-1!!)), (ф + В-1г|)))|, (1.5)
т. е. является многомерным гауссовским распределением с вектором
математических ожиданий -В-1 г]), матрица В - Wa(x - y)Wx,vev. Мы
покажем, что условное распределение переменных ф(я), х е V при
фиксированных ф(у), у ^ Zd - F, отвечающее гауссовскому распределению BG,
имеет вид (1.5).
Покажем вначале, что случайные величины ф(я) + + (В"1г1))(х), х е F
независимы (в смысле распределения PG) от всех случайных величин ф{у), у
е Zd - F. Так как В - невырожденная матрица, то достаточно проверить
независимость
(?ф) (ж) + г|) (х) = 2 а {х - t) ф (t) +
t€=V
+ 2 а (х - t) ф (t) = 2 я (ж -
*) ф (i).
iGZd~V t^Zd
Имеем для любого у е Zd - F
Е (2 a(x - t) Ф (*) Ф (г/)) =2 a(x-t)b{t - y).
t
Последний ряд абсолютно сходится и, следовательно, он равен 8ху. Так как
х е F, у ^ Zd - F, то 8ху = 0.
Из доказанного утверждения вытекает, что вектор -В-1 if) есть вектор
условных математических ожиданий случайных величин ф(я), х ^ V при
фиксированных ф(у), у е Zd - F.
Остается показать, что матрица дисперсий вектора
ф'= {<р(я) + (B-4l>H*>" x<=V)
ПРИМЕРЫ
25
есть В 1. Пусть
ф" = В(р' = { 2 а {х - у) Ф (у) + т|> (х), х <= У} =
I у(=.У * >
a(x - y)(f (y), же VI
[y<ZZd
Требуемое утверждение эквивалентно тому, что матрица дисперсий вектора ф"
равна В. Имеем теперь
Ец>" (а*) ф" (х2) =
= 2 <*("! - Уг) ъ (Уг - i/2) а (уй - ж,) =
уъу^^А
= 2 а^ - =о(ж1 - ж2).
Vlez<*
Ряды в последнем выражении сходятся абсолютно, поэтому все преобразования
законны. Итак, показано, что матрица дисперсий вектора ф" есть В и, тем
самым, матрица дисперсий вектора q/ есть В~1. Теорема доказана.
Рассмотренный пример поучителен во многих отношениях. Во-первых, (1.5)
имеет смысл не для всех граничных условий cp(Zd - У), а только для тех,
где все ф(^), x^V конечны. Во-вторых, во многих задачах квантовой теории
поля и статистической механики встречаются квадратичные гамильтонианы
(гамильтонианы свободных полей), и переменные ф(я) принимают произвольные
действительные значения. Простейшим примером такого гамильтониана служит
гамильтониан Н = J ((\7ф)2 ~Ь ^оф2) dx. Его решетчатый
Rd
аналог в случае решетки с шагом h имеет вид
н = 2 [2ф{Xv• xeh-Zd Li=l h
+ ml ф2 (x)
hd.
Здесь внешнее суммирование происходит по всем точкам х = (#!, ..., xd)
вида Xi = щк, щ - целые, -°° < < щ < оо. В решетчатом случае, как было
показано,
26 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
среди отвечающих таким гамильтонианам предельных распределений Гиббса
находятся стационарные гауссовские распределения.
4. Решетчатые модели двумерной квантовой теории поля. Пусть d = 2.
Рассмотрим, как и в конце предыдущего примера, решетку hZ2 с шагом h-
Здесь мы воспользуемся способом построения предельного распределения
Гиббса, описанным в определении 1.3'. А именно, возьмем в качестве меры
цо гауссовское стационарное распределение с нулевым средним, отвечающее
гамильтониану
я0 = у 2 Ito - V хs))2 +
X
+ (ф (*1, *2 + h) - Ф {хх, х2))2 + то^2ф2 (хи ж,)].
Здесь х = (#i, х2) пробегает точки решетки hZ2. Гамильтониан Н0 имеет
радиус взаимодействия h, и поэтому отвечающие ему условные распределения
po(-l"p(Zd - V)) определены всюду и зависят только от точек множества Zd
- V, отстоящих от V на расстояние, не превосходящее h. Поэтому |х0 можно
использовать для построения с помощью него предельных распределений
Гиббса.
Отдельная случайная величина ф(#) подчинена гауссовскому распределению с
нулевым средним и дисперсией oh ~ const • In h~l9 Для любого р > 1
обозначим через Gp(t) = tp + ... обычный полином Эрмита степени р,
старший коэффициент которого равен единице. Через СрЛ)(?) обозначим
полином Эрмита Oh/2Gp{t/\f oh) = = tp + ... Введем гамильтониан
я<,п1) = 2 а" 2 Фй)(<р(ж)),
ар - постоянные, а2г > 0. В квантовой теории поля часто пользуются
обозначениями Вика G(<р (х)) ==? ж tq>p (я):ал. Символ • *ал означает,
что коэффициенты полиномов Эрмита строятся по гауссовскому распределению
с дисперсией Ол. (Более подробно свойства полиномов Эрмита обсуждаются в
гл. 4.)
ПРИМЕРЫ
27
При исследовании моделей двумерной квантовой теории поля естественно
возникают предельные распределения Гиббса, строящиеся при помощи
свободного поля |Хо и гамильтониана взаимодействия #(int). Если ар = О
при нечетных р, то гамильтониан обладает "±"-симметрией. Можно было бы
строить сразу предельные распределения Гиббса, беря в качестве % прямое
произведение мер Лебега на прямой, а в качестве гамильтониана
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed