Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
И. Динабург, Д. Г. Мар-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
тиросян, С. А. Пирогов, Е. В. Гусев, Э. Жалис, М. Д. Миссаров, Н. А.
Монина, А. Наимжанов и К. М. Ханин, как своими замечаниями по поводу
текста, так и непосредственным участием в оформлении рукописи.
Я искренне благодарю зд это участие и приношу всем свою самую сердечную
признательность.
Я. Г. Синай
ГЛАВА 1
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
§ 1. Гамильтонианы
В теории случайных процессов всякий случайный процесс задается системой
своих конечномерных распределений. Фундаментальная теорема Колмогорова
утверждает, что этими распределениями однозначно определяется
распределение вероятностей на всей о-алгебре измеримых подмножеств,
порождаемой конечномерными цилиндрическими множествами. Задача теории
случайных процессов - по конечномерным распределениям исследовать
свойства процесса, например, свойства типичных реализаций, значения
вероятностей для того или иного типа поведения случайного процесса и т.
п.
В задачах равновесной классической статистической механики мы встречаемся
с иной ситуацией. Здесь в основе теории лежит формальное выражение,
называемое гамильтонианом, при помощи которого можно находить
всевозможные условные распределения вероятностей для случайного процесса
или случайного поля внутри любой конечной области при условии, что
фиксированы значения процесса или поля вне этой области. Основная
проблема состоит в выяснении, во-первых, того, когда существует хотя бы
одно распределение вероятностей, для которого выражения, найденные с
помощью гамильтониана, дают отвечающие этому распределению условные
вероятности и, во-вторых, в изучении структуры множества всех таких
распределений вероятностей.
Вся проблематика оказывается тем самым естественным обобщением
проблематики теории обычных
10
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
цепей Маркова, где также решается вопрос о построении распределений
вероятностей по системе переходных вероятностей. Как мы увидим, вся
теория конечных цепей Маркова с положительными вероятностями перехода
вкладывается в теорию определяемых далее предельных гиббсовских
распределений как тривиальный частный случай, а гамильтонианы можно
рассматривать как естественные обобщения переходных вероятностей, точнее,
их логарифмов.
Переходя к точным определениям, рассмотрим подробно случайные поля с
дискретным временем. Как правило, мы будем рассматривать пространства ?2,
состоящие из функций ф = ф(я), определенных на d-мерной решетке. Другие
ситуации всегда будут специально оговорены. Вид решетки не играет
существенной роли в обсуждаемых далее вопросах. Поэтому, как правило, мы
будем считать, что х = (х\, ..., xd) пробегает обычную целочисленную
решетку Zd с метрикой
Лхч - х"|| = max \х{ - х\\. Наоборот, вид прост-
1 <i<d
3c',3c*eZ<*
ранства возможных значений ф(я) может существенно упростить или усложнить
теорию. Во всяком случае, мы всегда предполагаем, что пространство Ф
возможных значений переменной ср(х) не зависит от х и представляет собой
измеримое пространство. Отметим сразу же следующие основные частные
случаи:
1. Ф - конечное множество;
2. Ф - компактное метрическое пространство, в частности, однородное
пространство компактной группы Ли с естественной о-алгеброй борелевских
множеств;
3. Ф = Л1 или Rn с а-алгеброй борелевских множеств; в последнем случае
часто говорят о векторных моделях.
Пространство ?2, тем самым, также оказывается измеримым пространством с
естественной о-алгеброй @ измеримых подмножеств.
Функция ф = (ф(^)> называется конфигурацией системы. Ограничение ф на
любое подмножество V a Zd обозначим ф(ТО, т. е. ф(ТО = (ф(я), x<=V}.
Пространство всех таких ф(ТО обозначим ?2(F).
ГАМИЛЬТОНИАНЫ
И
Предположим теперь, что для всевозможных непустых конечных подмножеств V
<=*Zd заданы функции 3(ф(Ю), определенные на конфигурациях ф(Е). Значения
этих функций интерпретируются как энергии совместного взаимодействия
переменных i(p(x) в множестве V. Набор функций ЗСфО7)) называется
потенциалом. Для любой точки х0 ge Zd образуем сумму
U((p{x0); ф(х), х=?х0) = 2[У13((Р(7))>
где суммирование происходит по всем конечным подмножествам V, содержащим
точку х0. Величину UC(p(x0); ср(х),х?=х0) естественно интерпретировать
как энергию (или потенциал) взаимодействия переменной ф(#о) со всеми
переменными фОг), х е Zd.
Вообще говоря, ряд, определяющий С/, может расходиться. В случае
компактных Ф мы будем всегда иметь дело с такими потенциалами, когда этот
ряд сходится абсолютно. Для этого достаточно предположить, что при каждом
V
IР' / /т7"\\ I const • к
sup 13 (9(F))
4>(V) Р -0^4
где р = diam V, & = |F|, а > 1 - постоянная.
П р и м е р 1. Бинарное взаимодействие. Если ,3 отлично от нуля только
при \V\ = 2, то потенциал 3 называется бинарным. Написанное выше условие
означает, что для V = (s', s")
|3(фМ.фЮ)[<|7^221л, ">1.
Пример 2. Радиус взаимодействия. Пусть для потенциала 3 можно найти число
R, при котором 3(ф(Е)) = 0, если diam V > Л. Наименьшее число с этим
