Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
симметрии.
§ 2. Примеры гамильтонианов
1. Одномерные цепи Маркова. Пусть Й есть пространство реализаций
конечной цепи Маркова с г состояниями, т. е. множество значений Ф состоит
из г элементов, а Р - мера в й, отвечающая стационарной
ПРИМЕРЫ ГАМИЛЬТОНИАНОВ
15
цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода П = = IIjtfjll и
стационарным распределением я = (яь ...
..., яг}. Ограничимся для простоты случаем, когда все Uij > 0. Для V =
(&, к + 1, ..к + т) вероятность любой конфигурации ср(Ю = (ф(к), ф{к +
1), ..ф(к + + т)) равна
Яф(^-Яф(Ь)ф(И-1ГЯф(И-1)Ф(Н-2) * • • • *Яф(Л+т-1)ф(й+т) -
( fe+m-1 \
= exp jln яф(Л) + ^2 1п яф(1)ф(1+1)| • Введем гамильтониан
1=00
н (ф) = S 1п Яф(г)ф({+1)* i=-o(r)
Функция 3(ф(Ю) в этом примере отлична от нуля только в том случае, когда
V = (i, i+i) и 3(ф(0, ф(г + 1)) = -In яф(^ф({+1). Написанный гамильтониан
естественно считать гамильтонианом цепи Маркова.
2. d-мерная модель Изинга. Пусть пространство Ф значений переменных
ф(я) состоит из двух точек Ф = (1, -1). Рассмотрим гамильтониан Я, для
которого 3(ф(Р)) равно нулю во всех случаях, кроме V = (х, у), \\х - г/И
= 1, и в этом случае 3(ф(И)) = "З'фЫф(г/), т. е.
Н = ЗГ s ф(х)ф (у).
(*,у) : Цх-у11=1
Система с таким гамильтонианом называется d-мерной моделью Изинга (с
нулевым внешним полем). При 2f < 0 она называется ферромагнитной моделью
Изинга, а при & > 0 - антиферромагнитной. Причины для таких названий
будут ясны позднее. Гамильтониан Я трансляционно-инвариантен и допускает
еще группу симметрии Z2, состоящую из двух элементов: е - тождественного
преобразования и симметрии g, при которой (gq>)(z) = - ср(х). Эта группа
и есть упомянутая выше группа "±"-симметрии.
Моделью Изинга с внешним полем h называется модель с гамильтонианом
н = зг 2 ф(*)фШ-й.2 ф(*).
И*-г/Н=1 ocezd
16 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ, 1
В этом случае гамильтониан только трансляционноинвариантен.
3. XY-модель. Пусть d - 2, а пространство значений Ф представляет собой
обычную окружность S1. Удобно представлять себе конфигурацию ф в виде
бесконечного набора единичных векторов, выходящих из каждой точки х
решетки Zd, и под ф(я) понимать угол, образованный вектором, выходящим из
точки ж, с положительным направлением горизонтальной оси координат, -я <
фОг) < я. Возьмем какую-либо четную функцию ?/(ф), определенную на S1, и
рассмотрим гамильтониан
Н= 2 17 (Ф (*) - ф (у)).
(х,у):\\х-у\\=1
Непосредственно XY-модель получается в случае ?Дф)=созф. Большой интерес
представляет также модель, для которой СДф) пропорциональна логарифму 0-
функции, где
0 (Ф) = 2е~п2-е*Пф = const - 2 е~(ф-2яп)2.
- оо -оо
Гамильтониан Я, очевидно, трансляционно-инвариантен. Кроме того, он
инвариантен относительно группы S\ где для любого g е S1 имеем (g4p)i(#)
= ф(я) + g. Считается, что g - число, 0 ^ g < 2я, а сложение понимается
по модулю 2я. Рассматриваемая модель есть простейшая модель с непрерывной
группой симметрии.
4. Классический ротатор. Пусть d 1 произвольно, а пространство значений Ф
есть яг-мерная сфера, Ф = Sm. Классическим ротатором- называется модель
с гамильтонианом Н - ?7 2 (ф W, ф (у))-Такой га-
И*-2/||=1
мильтониан инвариантен относительно группы О (/г), где для любого g <=
О(п) полагаем (gKp)U) = gq>(x).
5. Решетчатое поле Янга - Миллса. Рассмотрим при d ^ 2 вместо решетки Ъй
множество, элементами которого являются ориентированные ребра решетки Zd
длины 1. Каждое такое ребро I задается упорядоченной парой I = (х, у), х
- начальная, а у - конечная точки ребра. Под точкой - I будем понимать
упорядоченную пару (у, х). В качестве пространства значений
§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
17
ф возьмем группу SO(n). Рассмотрим пространство конфигураций ф = {ф(Ш,
удовлетворяющих условию ф(-?) = ф"1Ш при всех I. Гамильтонианом Янга -
Миллса называется гамильтониан
н = S Тг (Ф {хъ Х2) Ф (хг, х3) Ф (х3, х4) Ф (xv хг)),
где хи х2, х3, х4 - набор вершин одной двумерной ячейки исходной решетки,
так что Х\ -> х2 х3 -*• х4 есть обход ячейки в положительном направлении,
а суммирование происходит по всем таким ячейкам. В последнем соотношении
вместо Тг можно взять произвольный характер группы SO(n).
Гамильтониан Янга - Миллса обладает очень богатой группой симметрии. А
именно, пусть g = {g(^)} - произвольная функция на решетке Zd со
значениями в группе SO(n). Положим для I = (х, у)
(g<p)U) = g~l(x)<p(l)g(y).
Тогда каждое слагаемое в формуле для Я, а вместе с ним й весь
гамильтониан сохранятся при действии g. Таким образом, Я инвариантен
относительно группы
П SO(n)(x).
x^Zd
Поля Янга - Миллса естественно представлять себе следующим образом. Пусть
в каждой точке решетки Zd имеется тг-мерное евклидово пространство Rn(x).
Будем рассматривать фШ, I = (я, у) как преобразование, устанавливающее
изометрию пространств Rn{x) и Яп(у), а всю конфигурацию ф ={ ф(?)} как
"связность" во всем множестве этих пространств. Гамильтониан Я не
меняется, если любое пространство Rn(x) подвергнуть автоморфизму,
