Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 6

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 61 >> Следующая

порождаемому элементом g(x).
§ 3. Предельные распределения Гиббса
Пусть дан гамильтониан Я, и для каждого V на пространстве конфигураций
ф(Г) определена мера, являющаяся прямым произведением меры % на
пространстве Ф. Мера х не обязательно нормированная. Для любого конечного
множества V рассмотрим такую конфигурацию ф^ - ТО, что Я(ф|(Т01ф(г* - V))
конечно для
18 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
любой конфигурации ф(Ю и конечен интеграл В = |ехр{-Я(ф(7))-Я(ф(7)|ф(2'|-
7))}х
хП*х(ф(")). (1.1)
sev
Этот интеграл называется статистической суммой.
Определение 1.2. Условным распределением Гиббса в объеме V при граничном
условии cp(Zd - V) называется распределение вероятностей на пространстве
?2(Г) конфигураций ф(Ю, плотность которого но мере П ^Х (Ф is)) имеет вид
8GV
р(ф(Г)1ф(V - V)) = В-1 ехр {-Ну(ф)}, (1.2)
Ну(ф) = жф(7)) + Я(ф(7)|ф(г* - V)).
В случае конечного радиуса взаимодействия или компактного пространства Ф
энергия конфигурации ф в объеме V Hv(cp) имеет смысл для любой
конфигурации (ф(я), a:eZd)e ?2.
Пусть V\ с= V2 и даны конфигурации фСГ^, ф(Т^2 - - Pi), '(p(Zd - V2). Из
определения 1.2 непосредственно вытекает:
р ^(У,) [q.^Z "(ф (F| _ Fi),ф (z. _ yt)) .
где знаменатель равен интегралу
J Р (ф (Т8) 1*Р (Zd - 7а)) П ЙХ(Ф(*)).
seyx
Заметим, что такому же равенству удовлетворяют почти всюду условные
вероятности р(ф(Г)|ф^ - V)), отвечающие любому распределению вероятностей
Р на ?2.
Следующее определение является центральным определением всей теории.
Определение 1.3. Распределение вероятностей Р на пространстве ?2
называется предельным распределением Гиббса, отвечающим гамильтониану Н,
если для любого конечного V с= Zd
§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 19
1) множество тех конфигураций ф <= Q, для которых конечны H(y(V)\q)(Zd -
F)), S {см. (1.1)), имеет Р-вероятность 1;
2) с Р-вероятностью 1 индуцированное распределением Р условное
распределение на Q(F) при фиксированном граничном условии - V) абсолютно
непрерывно относительно меры П (ф (s)) и его плотве у
ность относительно этой меры равна
p(q>(V)|q>(z'-r))~
_ ехр {- Ну (ф)} ехр {- Н (<p (V)) - Н (<р (V) | ф (:Zd - V))}
Е ~ s
(1.3)
Иными словами, с Р-вероятностью 1 это условное распределение является
условным распределением Гиббса при граничном условии ф(Zd - F).
Если Ф компактно, радиус взаимодействия конечен и все функции 3Up(F))
непрерывны, то (1.1) -(1.3) имеют смысл для всякой конфигурации <p(Zd -
V). В то же время общая теория вероятностей гарантирует существование
условных вероятностей лишь почти всюду. Таким образом, определение 1.3)
требует, чтобы выражение, определенное почти всюду, совпадало с
выражением, определенным всюду. Это обстоятельство связано с тем, что
теория меры всегда строится "с точностью до множеств меры О".
Основная проблема равновесной статистической физики - описать для данного
гамильтониана все отвечающие ему предельные распределения Гиббса. Эта
проблема полностью решается лишь в отдельных сравнительно простых
случаях. По существу, все последующее содержание книги посвящено
изложению ряда известных строгих результатов, относящихся к этой
проблеме.
Определения 1.2, 1.3 допускают естественное расширение. Пусть цо -
произвольная вероятностная мера на пространстве Q. Для любого конечного
множества V введем условные распределения jxo(*MZd - F)), заданные на
пространстве конфигураций Q(F). Опять-таки эти распределения определены
только jxo-почти всюду.
20 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
Но мы предположим, что их можно определить всюду, и при этом для любых
конечных V\ с= V2 будет выполнено равенство
S (Сг I Ф (Zd - V,)) dpo (Ф (Уг - Fx) | q, (Zd - F2)) = ^2
= ц0 (С1X 1 Ф (z ^2))*
Здесь Ci, С2 - произвольные измеримые подмножества в пространствах Q(Fi),
й(^) соответственно, й|Яо(ф(^2 - ^i)l<p(Zd - V2)) - условное
распределение вероятностей на конфигурациях cp(F2 - V0 при фиксированной
конфигурации cp(Zd - V2).
Рассмотрим теперь вместо (1.1), (1.2)
Е (Ф (Zd - V)) = J ехр {- Н (Ф (7) | ф (Zd - F)) -
- Н (Ф (F))} йцо (ф (F) (Ф (Zd - F)), (1.1')
р(ф(7)|Ф(гй - V)) = Е-1 ехр {-Нг{у)} (1.2')
и условные распределения на пространствах конфигураций ф(Ю, абсолютно
непрерывные относительно ;JLl0(-|cp(Zd - F))? ПЛОТНОСТЬ которых ПО - ТО)
равна (1.2'). Теперь естественно ввести следующее определение.
Определение 1.3'. Предельным распределением Гиббса, построенным по
гамильтониану Н и мере |Ло, называется распределение вероятностей Р, для
которого индуцированные условные вероятности почти всюду абсолютно
непрерывны относительно цоНф^ - - V)) и плотность по jbi0(*MZd - V))
равна (1.20.
В качестве меры ц0 можно взять предельные распределения Гиббса,
отвечающие потенциалу с конечным радиусом взаимодействия. По существу,
определения 1.3, 1.3' указывают естественный способ перехода от одной
вероятностной меры к другой.
Предельные распределения Гиббса и группы симметрии гамильтониана. Пусть S
- группа симметрии гамильтониана Н. Предположим, что мера ц0 также
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed