Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
свойством называется радиусом взаимодействия. В таком случае сумма,
определяющая U, конечна и имеет смысл при всех ф. Если такого R не
существует, то 3 называется потенциалом с бесконечным радиусом
взаимодействия. Когда радиус взаимодействия бесконечен, ряд для U может
расходиться за счет роста переменных ф(я) на бесконечности.
12 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
Для любого конечного подмножества W положим
я(фТО= 2 з(ф(Г))
ГС W
и будем называть Жф(ТЕ)) энергией конфигурации ф в объеме W. Сумму
Я(ф(^)|ф(7й-^))= 2 3(q>(V))
VDW^0
vn(zd-w)^0
будем называть энергией взаимодействия конфигурации ф(И0 с ф(Zd - W),
рассматриваемой как граничное условие. В случае компактного Ф при
сделанном выше предположении эта величина всегда конечна. Если радиус
взаимодействия R конечен, то в последней сумме участвуют подмножества,
отстоящие от W на расстояние, не превосходящее R. В общем случае считаем,
что величина H(y(W)\q)(Zd - W)) определена, если отвечающий ей ряд
сходится абсолютно. Величину
Н( ф то+#(ф (Т^) | ф (zd - TF))
будем называть полной энергией конфигурации ф(ИО при граничном условии
icp(Zd - W).
Мы будем рассматривать формальный ряд
н{ф) = 2 3(ф(Т0)= 2 ^(ф (я); ф (у), у фх),
V<zzd X(=zd
где суммирование происходит по всем непустым конечным подмножествам V.
Этот ряд называется гамильтонианом. Его нельзя ни в каком смысле
рассматривать как функцию на пространстве ?2, но, к счастью, это и не
понадобится. Для нас существенно, что с помощью Н можно находить Жф(ТУ))
и H{q){W)\<p(Zd- - W)). Часто также имеют смысл разности Н{ф')-Жф") для
конфигураций ф', ф", совпадающих почти всюду, т. е. всюду, кроме
конечного числа точек.
Группы симметрии гамильтониана. Весьма важным для многих примеров и
приложений теории является понятие группы симметрии гамильтониана. Мы
начнем с нескольких примеров.
ГАМИЛЬТОНИАНЫ
13
Пусть {Гу, у е Zd} - группа пространственных сдвигов в пространстве й, т.
е. (ТЧрНя) = ср(х - у). Гамильтониан Я(ф) называется трансляционно-
инвариантным, если НСср) = Я(Р<р) при всех у е Zd, т. е. если 3(ф(Т))
=3((Гуср)(У + у)). Иными словами, функция 3(ф(Т0) одинакова для
подмножеств V, получающихся друг из друга сдвигом по решетке. В случае
бинарного взаимодействия трансляционная инвариантность означает, что вид
функции 3(ф(#'), фix")) зависит только от разности х" - х'.
В общем случае пусть Z(r) - подгруппа Zd конечного индекса и {Гу, у е Zd) -
отвечающая ей подгруппа группы пространственных сдвигов. Гамильтониан Я
называется периодическим (точнее, -периодическим), если Я(ф) = Н(ТУф) при
всех у е Zd. Это означает, что при фиксированном V вид функции 3(ф(Г +
у)) зависит от класса смежности у по подгруппе Z д.
Допустим теперь, что на пространстве значений Ф действует группа G.
Продолжим это действие на все й, положив (gq>)(x) = gcp(x) для любого g ^
G. Назовем гамильтониан Я G-инвариантным, если Я(#ф) = = Я(ф) для любого
g е G, т. е.
3(xp(V))=3((gxp)(V)).
Пример 1. Ф = {-1, 1}. Этот пример является основным. Группа G состоит из
двух элементов: тождественного отображения е и симметрии gcp = -ф, т. е.
(gq>)(x) = - ,ср(х) для любого х. Такая симметрия часто называется "±"-
симметрией. Если Ф = -Ф <= Я1, то любой гамильтониан с бинарным
взаимодействием вида
я (ф) = 2з(^,/)фМф(Л
G-инвариантен.
Пример 2. Пусть Ф = S1 и G - абелева группа вращений окружности. Той же
буквой обозначим действие G на й. Тогда гамильтониан Я(ф) = х" )(ц>{х')1
ф(ж")) будет очевидно, G-инвариантным.
Введем теперь общее определение. Пусть G - топологическая группа,
действующая измеримым образом на пространстве Ф. Это означает, что для
любой изме-
14 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
римой функции / на Ф функция f(gq>) есть измеримая функция на прямом
произведении G X Ф.
Рассмотрим группу G преобразований пространства й, где отдельное
преобразование g ^ G задается точкой zeZdH G-значной функцией g(y),
определенной на Zd. Преобразование g = (z, g(y)) действует на
конфигурацию ф по формуле: (gcp)(x) = g(x)cp(x - z), x^Zd.
Закон композиции таких преобразований имеет вид
(z, g(y)) о (z\ g'{y)) = (z + z', g(y)g'(y - z)).
В G можно ввести естественную топологию, при которой она станет
топологической группой. В этой топологии последовательность gn = (zn,
gn(y)) е G сходится к элементу g = (z, g(y)), если существует такое N,
что zn = z при всех п> N и gn(y) сходится при п оо к g(y) равномерно по у
^ Zd.
Для любого конечного подмножества V и преобразования g = (z, g) eG
выполняется очевидное равенство:
Оч>нто = л ==
= (^(г/)ф(у - z)f уеУ) = (g(z + г/)ф(г/), г/ <= F - z).
Обозначим последнее выражение через ?ф(У - z).
Определение 1.1. Пусть S' - замкнутая подгруппа группы G. Потенциал Жф)
называется S-инвариантным, если для любого g = (z, g) е S, любого
конечного подмножества V и любой конфигурации Ф ^ Й выполняется равенство
3(<p(V))=3(Gcp)(V-z)).
Ниже мы приведем примеры гамильтонианов с разнообразными группами
