Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 9

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 61 >> Следующая

tf = tf0 + #(Int).
Формальный предельный переход h 0 приводит в этом случае к гамильтонианам
непрерывных полей вида
н = JJ ((УФ, уф) + ^оФ2 + я, -Р (ф): ) dxjdxt,
2 Г
р (ф) = 2
Р=1
Коэффициент то называется массой свободного или голого поля, К -
константа взаимодействия. Свойства предельных распределений Гиббса
зависят от безразмерного параметра Х/т^,
5. Преобразование Березинского XY-модели. Пусть V - прямоугольник на
плоскости. Рассмотрим для ХУ-модели с потенциалом U распределение Гиббса
в объеме V со свободными граничными условиями и с мерой %v в виде прямого
произведения мер Хаара. Статистическая сумма в этом случае имеет вид
а = П ехр {- и (ф (ж') - ф (ж"))} п йф (ж) (1.6)
J ||ЗС'-ЗС"||=1 X€EV
Существенный момент - форма записи последнего произведения. Будем
считать, что произведение берется по неупорядоченным парам (#', х"), \\х'
- #"11 = 1, определяющим ребро решетки. Предположим, что для каждого
такого ребра выбрана ориентация, и ориентированное ребро обозначим Z, т.
е. I = (х\ х") и теперь х' - начальная точка ребра, а х" -конечная точка
ребра. Через - I обозначим ориентированное ребро (#", #'). Теперь
произведение JI ехр{-Щф(#')-ф(#"))}
Нас'-зе"1(=*1
28 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1
можно рассматривать следующим образом: выбран набор 9 ориентированных
ребер Z = ix', х"), причем в набор 9? из каждой пары I, -I входит одно и
только одно ребро, произведение берется по ребрам из 9, а в множителе ехр
{-?7(ф(#') - q>(#"))} вначале стоит начальная точка ребра, а затем -
конечная точка.
Так как U - непрерывная функция на окружности, то ехр {-U) - также
непрерывная функция, и мы можем написать
оо
ехр {- U (ф)} = 2 сп ехр {2лтф}.
71=-оо
Подставим это разложение в (1.6) и поменяем местами порядок суммирования
и умножения, тогда
а = J . П ехр {- и (ф (*') - ф (я"))} П <*Ф (*) =
J Цх'-х"Ц=1 XGY
= f П ^Ф (х) П 2 СП ехр {2 я ire (ф (х') - ф (ж"))) =
v осей ze*e п
Сп{1) п йф (я) ехр {2зиф (я) Ап (я)}. (1.7)
ШёС XGV
Естественно в сомножителе 2 °п ехр {2зхт (ф (хг) -
п
-ф(я"))} индекс суммирования считать зависящим от I и внешнее
суммирование производить по всевозможным целочисленным функциям nil),
определенным на 9. Множитель A nix) есть сумма слагаемых по всем ребрам I
е 9, содержащим х в качестве вершины, причем слагаемое входит со знаком
+, если х - начальная точка ребра, и со знаком - в противоположном
случае.
Любую функцию nil), определенную на 9, мы можем продолжить на множество
9т всех ориентированных ребер решетки в прямоугольнике V, положив для 1^9
nil) = - ni- I). Теперь A nix) примет особенно простой вид:
Anix) = 2*(0, (1.8)
где суммирование происходит по четырем ребрам 1^9{0), имеющим х своей
начальной точкой.
ПРИМЕРЫ
29
Произведем интегрирование в (1.7). Тогда, если Аnix) Ф 0 хотя бы для
одного х, то интеграл равен 0. В противном случае он равен 1. В
результате получим
2=2 1Ь"0). (1.9)
Дп(х)=о l^gc для всех хеу
Иными словами, в (1.9) стоит суммирование по всевозможным функциям nil),
определенным на множестве ориентированных ребер 1^2?{0), удовлетворяющих
условию А?гЫ=0 для всех x^V, где A nix) см. (1.8), а каждой функции nil)
сопоставлен вес Л спцу Из
четности U вытекает, что е~и также четна и поэтому сП(-1) = сП(1). В
результате
Если все сП(1) > 0, как, например, в случае, когда U есть логарифм 0-
функции, то
П t'.irli - f-xp (4 У. 1пся("
I
Введем решетку Z2, двойственную к Z2, точки кото-
( I 1 I Л
рои имеют вид I х1 + + yl, х\, Х2 - целые,
- оо < Х\, Х2< °°.
Лемма. Пусть V - множество точек решетки Z2, отстоящих от V на
расстояние, не превосходящее 1. Тогда для всякой целочисленной функции
nil), определенной на i?(0), для которой
1) n(Z) = -n(-Z),
2) Ап (х) = 2 п(1) = 0,
1=(х,у)
найдется функция mix), определенная на V и такая, что nil) = mix') -
mix"), где х , х" - центры ячеек решетки Z2, для которых ориентированное
ребро I служит общей границей, причем х находится слева, а х" - справа от
I. Функция mix) определена однозначно, с точностью до константы.
30 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. I
Доказательство. Утверждение леммы легко получить с помощью теории
когомологий. Мы приведем прямое доказательство. Возьмем произвольное
ребро Z^i?(0) и отвечающие ему левую и правую точки х, х". Возьмем т(х')
произвольным и положим mix") = mix) - nil). Далее мы можем таким же
образом распространить определение mix) еще на одну вершину, отстоящую от
х', х" на расстояние 1, и т. д. В силу свойств 1), 2) это определение не
будет зависеть от пути, по которому строится продолжение. Лемма доказана.
Из леммы вытекает, что имеется взаимно однозначное соответствие между
функциями nil), удовлетворяющими условиям 1), 2) леммы, и функциями mix),
x^V, для которых 2 т (#) = 0. Теперь (1.6) прини-
мает окончательный вид
3= 2 exp{|2lncW^-(1Л°)
т(х), V )
2 т(?)=о хей
Рассмотрим модель, в которой переменные ср(я) определены на двойственной
решетке Z2 и принимают целые значения,
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed