Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
последовательности {VP}.
Теорема 1.3. Семейство вероятностных мер {Р} на ?2 будет относительно
компактным, если для каж-
h(m), 77i ?= М и константа С, для которых
м
VpCiVp+x, U Vv = Zd. Если Ф - полное сепарабель-
р
Ф = {фЫ, х ^ Zd}, ф = {фЫ, х ^ Zd}
из ?2
оо
34 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ, i
дого x^Zd найдутся постоянная Сх > 0 и неотрицательная непрерывная
компактная функция hx{§р) на Ф* такие, что
J hx (ф (х)) dP < Сх ?
для любого Р е {Р}.
Доказательство. Действительно, функция hv (ф (Vp)) - max hx (ф (х)) -
неотрицательная ком-
нактная функция на пространстве ?2 (Vv) и J hypdP ^ ^ 2 Сх. Далее следует
применить теорему ПрОХОрО-
ЗС€ЕУр
ва. Теорема доказана.
Перейдем теперь непосредственно к формулировке условий теоремы
существования предельных распределений Гиббса.
Предположим, что для гамильтониана II можно найти:
1) компактную неотрицательную функцию h на пространстве Ф;
2) набор чисел {с(я, г/), #^Zd, y^Zd} и константу с, 0 < с < 1, 2 I с (xi
У) I ^ с при всех x<^Zd, и чис-
У
ло К > 0, такие, что для конечного У <= Zd и любого граничного условия
ф^-У), такого, что
max 2 I с (xi У) I ^ (ф (у)) < °°i условное распреде-*еУ yezd-v
ление Гиббса (см. определение 1.2) определено и
f h (ср (ж)) р (ср (V) | ср (Zd - F)) П dl (Ф (У)) <
J y^V
<к+ S c(x,y)h(q(y)). (1.11)
у: уфх
Теорема Добрушина. Пусть выполнены сформулированные выше условия и,
дополнительно,
3) для любого x^Zd и любой непрерывной ограниченной функции #(ф) на Ф
найдутся последовательность конечных подмножеств WnczZd, U Wn = Z -
п
- {#}, набор неотрицательных чисел d{n)(x, р), У ^ х,
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
35
2 d(n) (х, у) ^ J9(n)0 при д-^оо и последователь-
y<=Zd
ность непрерывных ограниченных функций fn(q>(Wn)), таких, что
| J g (ф (*)) Р (ф (*) I Ф (z<i - {*})) dMx))-fn(4(Wn)) | <
< D{n) + 2 d{n) (х, у) h (tp (у))
уфх
для любого граничного условия ср (Zd - {*?}), 2 \с (х,
уфх
у) Ih (Ф (у)) <
Тогда для гамильтониана Н множество предельных распределений Гиббса не
пусто.
Доказательство. Фиксируем растущую последовательность подмножеств 7ПС Zd
и граничных условий cp(Zd - FJ, таких, что h{y(y)) <А, y^Zd-Vn при
некоторой постоянной А. Построим последовательность вероятностных мер Рп
на й, где
Рп (ф (zd - F")) = 1, Р (dtp (Fn) I ф (zd - Fn)) =
= Р (ср (У(п)) I ф (Zd - Fn)) П dl (Ф Ш
У^Уп
(см. (1.3)). Покажем вначале, что Рп есть слабо компактная
последовательность. Это вытекает из приведенной выше теоремы и из
следующей леммы.
Лемма, sup f h (ср (х)) dPn ^ -А b А- = ^о*
п J 1 с 1 с
Доказательство. Покажем, что для любого п m = max ГМф(я))р(ф(Уп) |ф(г*-
уи))П^(ф(у))<Ко-
*evn J veVn
Если бы мы знали, что тп< то из (1.11) j h (ф (ж)) р (ср (х) | ф (F" -
{х});
Ф (Zd - F")) d% (ф (х))< К + 2 с (ж, у) h ф (у) + с А.
Возьмем то х, при котором достигается тп. Тогда, интегрируя обе части
последнего неравенства по распре делению Р", получим, что число тп
удовлетворяет не-
36
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
[ГЛ. 1
равенству
т ^ К + Hcix, у)т + cA^KJrmcJrcA
^ К + сА ^ 7/ или ^ А0.
\ 1 - с ' и
Поскольку неизвестно, что т < придется эти
рассуждения несколько усовершенствовать. Мы пока-
жем, что всякая неотрицательная функция Ыф(ж)),
для которой
j h (ф (")) р (ф (х) | ф (Fn - х), ф (Zd - Vn)) d% (ф (х)) <
y)h(y) +К,
гуфх
интегрируема по мере Рп и ее интеграл не превосходит {К А- А){1 - с)~К
Для любого в > 0 введем множество <эг измеримых функций e(cp(Fn)), таких,
что 0 < е(ф(7п)) < 1,
I* е (ф {Vn)) dPn ^1 - 8. Положим
Ge = inf max i* h (ф (ж)) e (ф (Fn)) dPn.
e^g>eX^VnJ
Ясно, что Ge<°°. Мы покажем, что Ge<(K + A)X X (1 - с)-1, откуда, по
лемме Фату, будет следовать требуемое утверждение.
Возьмем б > 0 и найдем такую функцию е0 е <§Ге,
что
max f h (ф (ж)) (ф (7те)) dPn < Gz (1 + б)
И ХОТЯ бы ДЛЯ ОДНОЙ ТОЧКИ Хо ^ Vn
J h (ф (ж0)) е0 (ф (Fn)) dPn > Ge (1 - б].
Выберем е0 так, чтобы мощность множества точек х0, удовлетворяющих
последнему неравенству, была минимальна. Это возможно, поскольку Vп -
конечное множество.
Положим е0 (ф (Fn)) = е0 (ф ('Vn- х0)) = § е0 (ф (Vn)) X Хр(ф(*о) IФ(Ei -
х0); y(Zd - Vn))d%(<p(x0)).
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
37
Ясно, ЧТО во е (5г И ДЛЯ ВСЯКОГО X^Vn- {#()}
J h (ф (х)) e0dPn = j" h (ф (ж)) e0dP" < Gg (1 + б). Отсюда в силу
минимальности е0 вытекает, что J е0 (ф (7")) h (ф (х0)) dPn > G8 (1 - б).
Из условия теоремы Ge (1 - 8)< J е0 (ф (F")) h (ф (х0)) dPn =
= j\ (ф (Vn - Xq)) dPn (ф (Vn - Х0)) j h (Ф (х0)) X X р (Ф (ж0) I ф (V" -
х0); ф (Zd - Vn)) d% (ф (х0)) <
< f "о(ф(^п -жо))( S с(х0, y)h{<p (у)) + cA)dPn^
J \vevn-x0 j
^ К И- S с у) (1 ~Ь б) ~Ь сА ^ К -j- cGe (1 -Г б) -f-c-4
у
или
Ge(l-8-c(l + 6))<4+?.
Ввиду произвольности б
GB<(K + A)(i-c)-K
Лемма доказана.
Итак, последовательность Рп относительно компактна. Не уменьшая общности,
можно считать, что Рп слабо сходится к пределу Р, P = \imPn. Покажем,
_ п-> со
что Р есть предельное распределение Гиббса для гамильтониана Н.
