Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
реализацию q{Rd - F), мы можем построить условные распределения jxo(-
UpCRd - V)) на реализациях ф(Ю внутри области V и ввести условные
распределения Р{-|ф(Л^ - У)), абсолютно непрерывные относительно
щ>(*1ф(Д^- Г)), для которых
ехр
dP (ф (V) | ф (Rd - F)) __
- j U (ф (х)) dx V
dp о (Ф (V) | Ф (Rd - V)) S (Ф (Rd - V)) '
S (ф(д<*_7))= (1.17)
= j ехР j- j U (ср (ж)) dxj d[i0 (ф (F) | ф (Rd - F)).
Определение 1.6. Мера Р называется предельным распределением Гиббса, если
для почти всех (по распределению Р) условий ф{Rd - V) условное
распределение, индуцированное Р на реализациях ф(Ю, определяется (1.17).
Приведенное определение допускает естественное обобщение на случай, когда
цо есть распределение вероятностей, отвечающее обобщенному случайному
полю. При этом появляется один из наиболее важных примеров предельных
распределений Гиббса, возникающий в двумерной квантовой теории поля. А
именно, пусть цо ~ двумерное стационарное симметричное гауссовское
случайное поле с гамильтонианом
Н = j [(УФ, УФ) + mlv2] dx-ydxi =
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЙБВСА
(ГЛ, 1
Такое случайное поле можно определить лишь как обобщенное гауссовское
стационарное случайное поле с корреляционным оператором, являющимся
преобразованием Фурье функции l/(Хх -|- -f- ml).
Рассмотрим для любой области V случайную величину
п 2Г
2 Ч :(Рк (Ч, Ч): dx 1 dx2 = //^nt) (ср).
у k~l
Эту случайную величину можно определить либо с помощью предельного
перехода по описанным выше решетчатым моделям квантовой теории поля, либо
с помощью кратных стохастических интегралов Эрми-та -Ито (см. [19],
[90]). А именно, если
Ф (Ч, Ч) = j ехр {i + Х2х2)} (1ф {Х1У к2)
- разложение Фурье обобщенного случайного поля, то
Hvnt) (ф) = 2 a'h ( :cpft (хъ х2): dxydx2 =
h=i V
= 2,4 [d Ф 0(1)) • ... -d<?> (k{k)) X
k=l J
где S - симметризация функции, стоящей в скобках, и справа стоит кратный
стохастический интеграл Ито. Э. Нельсон [103] показал, что при а2г>0
Е(ехр {-i7yint) (ф)}Х<л°° для V с достаточно хорошей границей. Поэтому
для таких областей можно построить условные распределения Гиббса.
Нетрудно понять, что свободное поле Цо является здесь марковским в том
смысле, что условное распределение в области V зависит лишь от реализации
поля в сколь угодно малой окрестности границы. Тогда условное
распределение Гиббса будет марковским в том же смысле, и предельное
распределение Гиббса в этом случае есть марковское случайное поле.
Придать точный смысл всем этим утверждениям далеко не просто.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 1
47
Другой класс предельных распределений Гиббса возникает в случае точечных
случайных полей. Наиболее распространенной является ситуация, когда
рассматривается пространство ?2, точками которого ср служат счетные
подмножества Rd, 1, такие, что пересечение ф с любым компактным
подмножеством V с: Rd конечно. В качестве начальной меры, играющей роль
меры %, здесь естественно взять пуассоновское поле с параметром Я. В
задачах статистической механики часто встречается случай, когда условное
распределение Гиббса в объеме V абсолютно непрерывно относительно |Хо и
плотность
~~ = 4- ехр (- 2 U (| х' - х" |) -
ar0 '-1 I х',т"€К
- 2 U (\х' - х" |)1.
x'eV (
x"^Rd-V J
Здесь U(r)-функция, называемая потенциалом парного взаимодействия,
которое изотропно, т. е. зависит только от г и не зависит от
направления. Часто предполагается, что U(r) = оо ПрИ г^а и
монотонно убы-
•о
вает на бесконечности так, что j* rd_11 U (г) | dr < оо.
Определение предельного распределения Гиббса такое же, как и выше.
Существование предельного распределения Гиббса доказывается в точности
так же, как в компактном случае. Можно доказать существование предельного
распределения Гиббса и при более слабых предположениях о характере
стремления U(r) к бесконечности в окрестности нуля. Описанные примеры -
это основные примеры равновесной статистической механики непрерывных
систем.
Библиографические замечания к главе 1
1. Общее определение предельного распределения Гиббса появилось в
работах P. JI. Добруптииа Г131, Г161 и О. Лэифор-да и Д. Рюэлля [95].
Частный случай этого понятия появился гораздо раньше в работе Н. Н.
Боголюбова и Б. И. Хацета [9]. Расширенный и модернизированный вариант
этой работы ом. в статье Н. Н. Боголюбова, Д. Я. Петрииы и Б. И. Хацета
[8].
48
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА
ГГЛ. 1
Упомянем также работы Р. А Минлоса [25], [26] и Д. Рюэл-ля I [109].
Теоретико-вероятностные аспекты теории предельных распределений Гиббса
см. также в книге К. Престона [107].
2. Гауссовские распределения с точки зрения теории предельных
распределении Гиббса обсуждались в работах Ю. А. Розанова [38], Ф.
Спвгцера [115], P. JI. Добрушина [57]. Интересный пример гауссовского
поля, встречающегося в квантовой электродинамике, приведен в статье Ф.
Гуэрры [82].
3. Поля Янга - Миллса интенсивно изучаются в литературе по квантовой
теории поля, и им посвящена обширная литература. Проблемы, относящиеся к
