Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
решетчатым полям Янга - Миллса, рассматривались впервые, по-видимому, в
работах К. Вильсона [116] и А. М. Полякова. Математические вопросы теории
таких полей изложены в недавнем обзоре К. Остерваль-дера и Э. Зайлера
[104].
4. Двумерные модели квантовой теории поля представляют собой с точки
зрения теории предельных распределений Гиббса один из самых интересных
объектов исследования, и им посвящена многочисленная литература. Идея
строить предельные распределения Гиббса, отвечающие двумерным моделям
квантовой теории ноля, и первые теоремы существования принадлежат Э.
Нельсону [103]. Глубокие методы созданы в этой области Дж. Глиммом и А.
Джаффе. Мы упомянем только обзорные статьи [73], [75], где можно найти и
другие ссылки. В книге Б. Саймона [41] и в статье Ф. Гуэрры, Л. Розена и
Б. Саймона [81] непрерывные и решетчатые модели квантовой теории поля
изучались с точки зрения статистической механики и теории предельных
распределений Гиббса.
Интересные результаты в этой области принадлежат Ю. Фрелиху, который, в
частности, ттри наиболее широких предположениях доказал существование
предельного распределения Гиббса для непрерывных двумерных моделей
квантовой теории поля [63]. Модель : ф4:3 изучалась в глубокой работе Дж.
Глимма и А. Джаффе [75] и в основанной на ней работе Дж. Фельдмана и К.
Остервальдера [62].
5. Двойственность Березинского была введена и изучалась в его диссертации
[3].
6. Приведенные в § 5 теорема существования и ее доказательство
принадлежат P. JI. Добрушину [13], [16]. Пример использования этой
теоремы, относящийся к решетчатым моделям квантовой теории поля, был
рассмотрен студентом МГУ К. М. Ханиным. В его работе изучен несколько
более общий случай.
Теоремы существования предельного распределения Гиббса для моделей, где
ф(я) принимает неограниченные значения, рассматривались также в работе
Дж. Либовица и Э. Презут-ти [97].
7. Критерий Прохорова рассмотрен в книге П. Биллингсли "Сходимость
вероятностных распределений".- М.: Наука, 1977.
ГЛАВА 2
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ КОНТУРНЫЙ МЕТОД ПАЙЕРЛСА
§ 1. Введение
В равновесной статистической механике рассматривается обычно не один
гамильтониан Я, а однопараметрическое семейство гамильтонианов рЯ? где
параметр $ пропорционален обратной температуре. Предельные распределения
Гиббса, введенные в предыдущей главе, можно строить как пределы условных
распределений Гиббса в конечных объемах при определенных граничных
условиях, когда объем стремится к бесконечности (см. гл. 1, § 5).
Естественная задача, которая при этом возникает, состоит в описании всех
таких пределов для заданного гамильтониана $11. Эта задача весьма
трудная, и более или менее окончательные результаты получаются лишь при
малых $. Если переменная ф(я) принимает конечное число значений, а мера %
нормирована, то при $ (tm) 0 условное распределение Гиббса (1.2) не зависит
от граничных условий, переменные ф(я) статистически независимы и
распределение каждой из них совпадает с %. Переход в этом случае к
пределу У оо тривиален: предельное распределение Гиббса при (J = 0
единственно, и по отношению к нему переменные ф независимы и имеют
распределение %. При широких предположениях точка $ - 0 является
устойчивой в том смысле, что при достаточно малых [J, т. е. при высоких
температурах, предельное распределение Гиббса по-прежнему единственно, а
переменные ф(х) образуют набор слабо зависимых случайных величин. Точные
утверждения подобного рода изложены в книге Д. Рюэлля [39] ид
50
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕЩЙТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
работах P. JI. Добрушина [13-15]. Доказательства обычно проводятся с
помощью так называемых систем корреляционных уравнений для корреляционных
функций.
Гораздо более интересной и разнообразной оказывается ситуация в
окрестности точки (3 = °°. Если формально записать распределение Гиббса в
виде const • е~т, то при (3 ->• оо такое распределение должно вырождаться
в распределение, сосредоточенное на конфигурациях, где Я достигает своего
минимума, т. е. на основных состояниях гамильтониана Я. Разумеется, это
высказывание не имеет никакого определенного смысла из-за того, что
рассматриваются конфигурации на всей бесконечной решетке. Но основные,
вводимые далее понятия, по существу, преследуют цель сделать его более
точным. Мы покажем, что точка [3 - 00 также часто является устойчивой. Мы
введем понятие основного состояния гамильтониана, и для гамильтонианов, у
которых число периодических основных состояний конечно и выполнены
некоторые условия устойчивости этих основных состояний (условие Пайерлса,
см. далее), установим, что для гамильтонианов |3// при больших [3
возникают предельные распределения Гиббса, сосредоточенные около этих
основных состояний.
В этой главе мы будем рассматривать системы, у которых множество Ф
значений отдельной переменной фЫ конечно, а гамильтонианы [3# периодичны
или трансляционно-инвариантны и имеют конечный радиус взаимодействия.
