Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда естественно, по крайней мере вначале, искать для гамильтониана [3#
периодические или трансляционно-инвариантные неразложимые предельные
распределения Гиббса. Неразложимость означает с формальной точки зрения,
что предельное распределение Гиббса не представимо в виде линейной
комбинации других предельных распределений Гиббса. Именно неразложимые
предельные распределения Гиббса описывают статистические свойства чистых
термодинамических фаз. Если Я зависит еще от параметров jiii, ...,
(внешних полей), т. е. мы имеем дело с ft-параметрическим семейством
гамильтонианов Я = Я0, то множество нераз-
ВВЕДЕНИЕ
51
ложимых периодических распределений Гиббса для гамильтониана становится
функцией р. В частности, число таких распределений* также будет функцией
р.
Фазовый диаграммой семейства гамильтонианов р//й называется разбиение
пространства параметров р па множества постоянства этой функции. Мы
покажем, что при широких условиях для больших р фазовая диаграмма
семейства гамильтонианов мало зависит от ? и устроена так же, как фазовая
диаграмма, описывающая структуру множества основных состояний семейства
гамильтонианов НОтсюда, в частности, вытекает, что появление нескольких
неразложимых предельных распределений Гиббса связано с наличием у
исходного гамильтониана Н0 нескольких основных состояний, т. е. с
вырождением основного состояния. У гамильтонианов, обладающих какой-либо
группой симметрии, вырождение основного состояния обычно вызывается тем,
что основные состояния сами по себе несимметричны и переходят друг в
друга под действием преобразований из группы симметрии. Иными словами,
группа симметрии действует на пространстве основных состояний. Поэтому
появление в таких системах нескольких неразложимых предельных
распределений Гиббса называется спонтанным нарушением симметрии. Вообще
же, для появления нескольких предельных распределений Гиббса требуется не
специальная симметрия гамильтониана, а только лишь вырождение основного
состояния.
При больших ? исследование фазовых диаграмм часто проводится на
интуитивном уровне с помощью введения поверхностного натяжения. Приведем
сейчас соответствующие рассуждения на примере ферромагнитной модели
Изинга*). Удобно иметь дело с так называемым малым каноническим ансамблем
и отвечающими ему малыми статистическими суммами. Для объема V и любого
с, -1< с < 1, положим
Z (V; с, Р) = 2
Ф(У): 2 Ф1*)=[с|УЦ
______________________ xg7
*) Приводимый ниже текст был написан в результате плодотворных и полезных
для мепя бесед с И. М. Лифшицем.
52
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Здесь Я(7) - гамильтониай ферромагнитной модели Изинга, \V\ -число точек
в объеме У, [•] -знак целой части числа.
Согласно известной теореме Ван-Хова (см. [39]) существует предел
Иттут = Р/<а Р),
И -> оо I К I
равный свободной энергии Гиббса. Функция / всегда является выпуклой по с.
Неединственность предельного распределения Гиббса эквивалентна
существованию плоского участка в графике / как функции с. При Р = оо
функция /(с, оо) равна константе (см. рис. 1), равной удельной энергии
любой из конфигураций ср(ж)^1, ф(^)=- 1, вычисленной с помощью Ii(I)
f (С, оо) , f (с, J3)'
г\ 1 1 1 1 1 , -1-1 Л\ 1 1 1 1 1 1 I 1
-/ / е effi) 1 с
Рис. 1. Рис. 2.
Устойчивость ТОЧКИ Р = оо проявляется в том, что при ?>1 график функции
/(с, fi) имеет вид, изображенный на рис. 2, где на отрезке L- c*([i),
c*(jJ)J функция / линейна. Величина с*($)->-1 при р оо.
Обычное доказательство такой устойчивости заключается в следующем. Пусть
с близко к 1 и фиксировано. Рассмотрим большой объем У с граничными
условиями + 1 вне У. Тогда типичная конфигурация ср(У) с такими
граничными условиями состоит из моря +1 с редкими вкраплениями другой
фазы, т. е. -1. Эти вкрапления однозначно задаются своей границей Г, т.
е. вне всех границ Г стоят 1, а изнутри к Г примыкают - 1. Далее внутри Г
±1 могут чередоваться произвольно, лишь бы изнутри к Г примыкал слой - 1.
На рис. 3 представлен вид типичной конфигурации.
Введение
53
Зададим для каждой границы Г концентрацию х(Г), с которой она встречается
в конфигурации ф(Ю, и vp(F)-среднее число -1 внутри Г, вычисленное по
условному распределению Гиббса внутри Г. Тогда
+ +
+ + + +
- - +
4- +
I
+ +
+ + + +
+ + + + + +
Рис. 3.
.U + + +
+
+
+
+
•+
+
статистическая сумма по конфигурациям с заданными х(Г) имеет вид
К ({и (Г)}) ехр [V 2 к (Г) F (Г; fo),
где Ж{х(Г)})-число способов расположить х(Г)1П контуров типа Г в объеме
V; F(T; р)-логарифм статистической суммы в объеме, ограниченном контуром
Г. Набор чисел х(Г) должен удовлетворять условию 2 х (Г) vp (Г) = 1 - с.
Если I - с мало и суммарная концентрация объемов внутри контуров Г мала,
то можно пренебречь пересечениями контуров и написать, что К ({х (Г)}) =
ехр |- V х (Г) In х (Г)). Последнее выражение получилось, если бы мы
располагали контуры Г независимо друг от друга. Нахождение функции f(c;
р) сводится в таком приближении к нахождению максимума max [- ^ х (Г) In
