Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 18

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 61 >> Следующая

#(ф|Ф) = 2(3 (Ф(Г)) - 3 М>(Г))). (2.2)
В этой сумме только конечное число слагаемых отлично от нуля. Условные
вероятности (1.2) удовлетво-
ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЙ
57
ряют соотношению
Р (Ф (V) 1 <р М - F)| = j _ р ( | >) ф'Щ
Р ('I' (V) | ф (Z - V)) '
где ф(\1>) совпадает с ф(У)(о|>(У)) на У и <p(Zd - У) вне У.
В самом деле,
^М = ехр{-рЯ(ФК)}, (2.4)
если (Ср(х) = г|)(я) для таких х, что d{x, У) < Я,- эквивалентное
определение условных вероятностей в терминах относительного гамильтониана
Я(ф|о|)).
Естественное требование на взаимодействие - требование его трансляционной
инвариантности. Нам, однако, будет удобно рассматривать несколько более
широкий класс взаимодействий, а именно периодические
взаимодействия, в которых 3 инвариантно отно-
сительно подгруппы Zg с: Zd конечного индекса.
§ 2. Основные состояния
Мы будем говорить, что однопараметрическое семейство Рр, р -> °°,
предельных распределений Гиббса для гамильтонианов рЯ представляет собой
малое отклонение от фиксированной конфигурации ^ й, если для любого s > О
lim sup Рр (ф (Ws (х)) ф гр (W8 {х))) = 0.
Формальный переход к пределу при р -> <" в (2.3) показывает, что типичные
конфигурации, отвечающие условным распределениям Гиббса, при больших р
должны быть близки к конфигурациям с минимальной энергией в данном объеме
(основным состояниям). Поэтому естественно надеяться, что при больших р
существуют предельные распределения Гиббса, представляющие собой малые
отклонения от основных состояний гамильтониана. Для подтверждения этих
эвристических соображений мы введем определение основного состояния
гамильтониана и покажем, что при условии устойчивости этого основного
состоянии- называемого
58
ФазОёыё диаграммы решетчатых Систем [М. i
условием Пайерлса, можно действительно доказать* что существуют
однопараметрические семейства предельных распределений Гиббса,
представляющие собой малые отклонения от основных состояний, однако
доказательство, как будет видно, довольно длинное.
Определение 2.1. Конфигурация ф называется основным состоянием
гамильтониана Я, если Жф1ф)>0 для любой конфигурации ф = ф(а. s.).
Основное состояние ф изолировано, если из того факта, что ср Ф ф, Ф =
ф(а. s.), следует, что Жф1ф)> 0.
Множество периодических основных состояний гамильтониана Н обозначим
через g(#).
Можно дать более наглядное определение периодических основных состояний.
А именно, обозначим множество всех периодических конфигураций с
произвольным периодом через Q и для ф е Q положим
А(Ф) =ИтШ71ж1 ^ *Мф)-
оо I s ' I xevrs(o)
Иными словами, h{ф) есть удельная энергия ф. Поскольку 3 периодичен, то
h(cp) определена и конечна
на й. Введем
h = inf h (ф). фей
Ясно, что Ь/> -
Лемма 1. Множество периодических основных состояний гамильтониана Н
совпадает с множеством
gi(H)= (ф: ф е й, Ыф) = М.
Доказательство. Покажем вначале, что g{H
Если ф е Й, Жф)> А, а ф е^ДЯ), то для конфигурации ф(5), совпадающей с ф
в ГГ3(0) и с ф вне ИЛДО), будем, очевидно, иметь
Я(ф(в) I ф) = (А- Л(ф)) IWMI + (У( I dWM IX 0
лри достаточно больших s. Следовательно, ф не может быть основным
состоянием.
Для доказательства обратного включения возьмем ф е^ДЯ) и допустим, что
найдется конфигурация ф'е ф' = ф(д. s.), для которой Я(ф'1ф)<0. Построим
ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ
59
с помощью г|/ конфигурацию ф ^ Q, для которой h(ф)< < Мф). Для этого
возьмем ф'ОГДО)) и продолжим ее периодически на всю решетку Zd.
Полученная конфигурация ф е= Q и для нее h (ф)=А (ф) + н (У |
ф)
при достаточно больших s, что противоречит определению h. Лемма доказана.
Интуитивно ясно, что именно изолированные основные состояния должны быть
связаны с неразложимыми периодическими предельными распределениями Гиббса
при больших р. В дальнейшем, важную роль будет играть условие Пайерлса,
выражающее тот факт, что периодические основные состояния изолированы и в
определенном смысле равномерно устойчивы.
Определение 2.2. Рассмотрим периодический гамильтониан с конечным
радиусом взаимодействия R и 0<lg(#)l < °°. Обозначим через N общий период
для Н и его периодических основных состояний, и пусть s>m&x{N, Ю.
Границей Зф конфигурации Ф е Q называется множество
Граница не обязательно конечна, но это безусловно так, если ф = 5.)
для некоторого ф)&g(H). Оп-
ределение Зф зависит от s и g(H), но его зависимость от s не очень
существенна, потому что
дфсгд'фс: (J WS'{x), (2.5)
если З'ф - граница, определенная при помощи s' > $, т. е.
!3Ф! ^ |3'ф1 ^ [45' + 1]<МЗф!. (2.6)
Мы ожидаем, что #(ф1ф) приблизительно пропорционален 13ф1, если
поскольку Мф) - \ на
g(H). Оценка сверху
Жф|'ф)<С,|Зф|, ф е ?3, фе^(Я), ф = ф(а. s.) может быть легко получена,
однако нам важна оценка
CHH.qv.
60 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 5
Определение 2.3. Гамильтониан Я удовлетворяет условию Пайерлса, если
существует р > 0 такое, что Я(ф|ф)>р|3ф1 для любой конфигурации ф = -
ф(а. 5.), ф е g(H). Учитывая (2.5), можно утверждать, что справедливость
условия Пайерлса не зависит от 5, хотя р уменьшается при возрастании s.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed