Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Kg<r /
положительного r-мерного октанта.
Основываясь на этом условии, мы докажем, что топологическая структура
множества периодических предельных распределений Гиббса для семейства
гамильтонианов при больших р и малых ц имеет такую же структуру, что и
Ог.
§ 4. Фазовые переходы в двумерной ферромагнитной модели Изинга
Теперь мы отступим от изложения общей теории и рассмотрим основной
пример, с которого началось развитие всей теории, излагаемой в этой
главе. Речь пойдет о ферромагнитной двумерной модели Изинга, т. е. о
модели с гамильтонианом
В ферромагнитном случае J > 0. Не уменьшая общности, можно считать, что J
= 1. Суммирование происходит по парам ?', t", \\t' - t"\\ = i. Очевидно,
что эта модель имеет два основных периодических состояния я|)+ = {ф(0 =
1}, г|г = {срШ = - 1}? и гамильтониан Но с этими двумя основными
состояниями удовлетворяет условию Пайерлса.
Теорема Пайерлса (см. [ 105]). Существует такое Ро* что при всех [3 > {30
гамильтониан (3#0 имеет, по крайней мере, два трансляционно-инвариантных
предельных распределения Гиббса. Как функции (3 эти распределения
образуют малые возмущения основных состояний г|)+, л|Г.
Доказательство. Фиксируем объем V a Z2 и граничные условия i(p(Z2 - V).
Условное распределение Гиббса в объеме V при граничных условиях cp(Z2- V)
имеет в рассматриваемом случае вид
я0 = -/ х ф(Оф(П, "I (0 -±Ь Z*.
||<--г-11=1
Pf, (Ф (I7) I Ф (Z2 - Т)) =
1
S (V; Р; q,(Z2-V))
Г
||Н-И!=1
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В МОДЕЛИ ИЗИНГА
65
Е(У; (J; <p"(Z2 - У)) - статистическая сумма, [} > 0 - параметр. При
нашей записи каждая пара t', t", где хотя бы одно из У, t" принадлежит У,
встречается один раз.
Проведем вспомогательные построения. Объем У всегда будем выбирачь в виде
квадрата WL(0). Зададим граничные условия в виде + 1 вне У.
Соответствующее условное распределение Гиббса обозначим Р+. В данном
случае границу конфигурации можно определить проще и естественнее, чем в
общем случае. Имея конфигурацию ф(У), рассмотрим У'^У, У' = = {t е У|ср(0
= 1}. Окружим каждую точку У' замкнутым единичным квадратом с центром в
этой точке. Объединение этих квадратов обозначим е(У'). Границу множества
е(У') будем называть границей конфигурации ф(У) и обозначать 3(<р(У)).
Контуром границы 5(ф(У)) называется замкнутая иесамонересекаю-щаяся
кривая, принадлежащая 3(ф(У)). Всякая граница однозначно распадается на
контуры.
По границе 9(ф(У)) можно однозначно восстановить конфигурацию ф(У). Для
этого, двигаясь от границы V внутрь, будем ставить + 1 до тех пор, пока
не дойдем до первого контура. Пересекая контур, будем ставить - 1 ит. д.
В основе доказательства теоремы лежит неравенство Пайерлса.
Неравенство П а й е р л с а (см. [\05]). Пусть Y - фиксированный контур,
р+(*() ~~ вероятность того, что уед(ф(У)), вычисленная с помощью
распределения Р+. Тогда
p+iy) ^ ехр {.-2Ц|yU,
| | - длина контура Y-
Доказательство. Для любой конфигурации Ф, которая совпадает с г|У вне У,
/Мф) =//(ф(У)) + //(Ф(У)Н)+(Х2 - У)) = = -21УI + 2|9Ф(У)|.
В самом деле,
Ну{ ф) = - 2 ф(Оф(0 = -2+-2-
{Г,*"}ПУ#0
66 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ, 2
где 2+(2~) есть часть суммы, взятая по таким парам {?', ?"}, что <pU')
=ф(У/)(ф(^/) = - ф(Г/)). Заметим теперь, что - 2" = |3(<p(V)) I,
поскольку единичное ребро, разделяющее t' и t", принадлежит границе
5(ф(У)). Общее число пар U', t"}, {t\ Z'OflV^^, равно 21VI, а 2+- число
пар, где ф(?/)=ф(?"). Поэтому
2+ = 21VI - |2-| =2V + 2"
Окончательно
//у(ф) = -2V- 22- - -2V + 2|3(Ф(V))I.
Далее, по определению
2 ехр {- р//у (ф)} ф(V): уса(ф(у))________________________________
+ 2 ехР{- Ряу (Ф)}
ф(Ю
2 ехр {2р | F | - 2р | д (ср (V)) |}
ф(У): уСдЫУ))________________________________________________________
2 ехр (2р | F | -* 2р | <9ф (V) |)
Ф(У)
2 ехр {- 2Р I д (ф (V))|)
_ ф(У): уса(ср(У))___________________
2 ехр {- 2Р | д (ф (V)) I} ф(Ю
Пусть Фт - множество конфигураций ф^), для которых 7 ^ ^(ф( V)), ф7 -
множество конфигураций ф(Г), для которых д(ср( V)) (1 у = 0. Установим
взаимно однозначное соответствие %т между конфигурациями из Фт и Фу. Для
этого, взяв конфигурацию (p(V)eOT, уничтожим у нее контур 7, заменив
внутри у все знаки на противоположные. Полученная конфигурация %т(ф>(Ю)
<^Фу. Очевидно, что
5Ф(V) = 3(%т(ф( V))) U у,
|Зф(У)| = I3(xt^(V)))I + lyl.
При заданном у отображение Хт взаимно однозначно.
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В МОДЕЛИ ИЗИНГА
67
Теперь можно написать
Р+ (у) =
2 охр {- 2Р | (F) 1} 2 охр {- 2р I лр (V) I)
Неравенство Пайерлса доказано.
Следствия неравенства Пайерлса:
I. При достаточно больших [} существует постоянная ССр) = С > 0, С(р)
-> 0 при р -> оо такая, что Р+{ф(У): I'yI > Cln IVI хотя бы для одного fe
е 5(ф( V))} 0 при IVI
Доказательство. Каждому контуру припишем начало - его крайнюю левую
нижнюю точку. Тогда все множество контуров распадается на классы
контуров, имеющих началом данную фиксированную точку (заметим, что
"начала" не являются точками объема V, ибо в точках объема решетки могут
